Магические квадраты

[Pavlovsky]

Цитата:

Любой регулярный (по Россеру) пандиагональный МК 8х8 состит из 4-х пандиагональных МК 4х4.

Пожалуй это уже не гипотеза, а теорема. Истинность этого утверждения следует из теоремы 2.2

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #333993 писал(а):

Тогда хотя бы расскажите, как по Теореме 5.5 (случай 3) строить пандиагональный квадрат 9-го порядка. Я ничего там не поняла.

Случай 3 теоремы 5.5 описывает алгоритм построения классического панидагонального МК.

Опишу алгоритм на примере постороения пандиагонального МК 9х9.

1) Сначала строим квадрат 3х3 из чисел от 0 до 8. Такой чтоб сумма в столбцах была одинаковой.

0   1   2
5   3   4
7   8   6

2) пронумеруем ячейки квадрата 3х3 в естественном порядке (построчно) от 1 до 9.
Заполним квадрат 9х9 по формуле
Aij=9*a(i)+a(j)=1, где a(i) число в квадрате 3х3 в позиции i.
У нас получился примитивный квадрат

1   2   3   6   4   5   8   9   7
10   11   12   15   13   14   17   18   16
19   20   21   24   22   23   26   27   25
46   47   48   51   49   50   53   54   52
28   29   30   33   31   32   35   36   34
37   38   39   42   40   41   44   45   43
64   65   66   69   67   68   71   72   70
73   74   75   78   76   77   80   81   79
55   56   57   60   58   59   62   63   61

Применяем к нему преобразование T и получаем классический пандиагональный квадрат, составленный из чисел от 1 до 81.

18   7   55   74   66   42   31   50   26
32   53   27   16   1   56   75   69   40
78   67   41   35   54   25   10   2   57
11   3   60   76   68   44   36   52   19
34   46   20   12   6   58   77   71   45
80   72   43   28   47   21   15   4   59
13   5   62   81   70   37   29   48   24
30   51   22   14   8   63   79   64   38
73   65   39   33   49   23   17   9   61

[Nataly-Mak]

Спасибо за разъяснение схемы построения. Теперь всё понятно.

Однако, как вы понимаете, постоение классического квадрата сейчас мало интересно. Меня интересует, возможно ли по этой же схеме построить нетрадиционный пандиагональный квадрат 9-го порядка. Для порядка 8 мне это удалось, я там увидела, каким условиям должен удовлетворять примитивный квадрат, чтобы из него можно было получить пандиагональный квадрат (выше приведено два примера построения нетрадиционных панд. кв. 8х8 по теореме 5.5, случай 2).

Как перейти к нетрадиционному пандиагональному квадрату 9-го порядка, я пока не вижу.
Пытаюсь это сделать. У вас есть какие-нибудь соображения по этому поводу?
Сначала хотя бы для произвольных натуральных чисел (о простых числах и о числах Смита пока не говорю).

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #334603 писал(а):

Однако, как вы понимаете, постоение классического квадрата сейчас мало интересно.

Я думал для вашей коллекции алгоритмов он пригодиться. Интересно в вашей коллекции есть подобный алгоритм?!

Nataly-Mak в сообщении #334603 писал(а):

У вас есть какие-нибудь соображения по этому поводу?
Сначала хотя бы для произвольных натуральных чисел (о простых числах и о числах Смита пока не говорю).

Я думаю есть смысл построить хотя бы один примитивный квадрат 9х9 скажем из простых чисел. Для этого достаточно построить 9 примитивных квадратов 3х3 с одинаковой суммой элементов. А там подумать как из него получить пандиагональный МК.

[Nataly-Mak]

Как я уже писала, у меня есть алгоритм построения классических идеальных квадратов из обратимых (всех порядков, для которых идеальные квадраты существуют). Выше я давала ссылки на статьи, в которых описывается этот алгоритм и даже приводила пример построения классического идеального квдарата порядка 8 из самого простого обратимого квадрата.

Кажется, мне удалось проникнуть в закономерность построения примитивного квадрата в теореме 5.5 для МК9. Но закономерность такая, что вряд ли удастся построить такой примитивный квадрат из простых чисел или из чисел Смита. Из произвольных натуральных чисел примитивный квадрат строится довольно просто.
Вот пример:

примитивный квадрат:

3 4 5 10 6 9 12 15 11
16 17 18 23 19 22 25 28 24
29 30 31 36 32 35 38 41 37
68 69 70 75 71 74 77 80 76
42 43 44 49 45 48 51 54 50
55 56 57 62 58 61 64 67 63
94 95 96 101 97 100 103 106 102
107 108 109 114 110 113 116 119 115
81 82 83 88 84 87 90 93 89

пандиагональный квадрат:

28 11 81 108 96 62 45 74 38
48 77 41 24 3 82 109 101 58
114 97 61 51 80 37 16 4 83
17 5 88 110 100 64 54 76 29
50 68 30 18 10 84 113 103 67
116 106 63 42 69 31 23 6 87
19 9 90 119 102 55 43 70 36
44 75 32 22 12 93 115 94 56
107 95 57 49 71 35 25 15 89

Как я поняла, нетрадиционный пандиагональный квадрат 10-го порядка можно построить из 4-х пандиагональных квадратов 5-го порядка с одинаковой магической константой (аналогично МК 8-го порядка). Можно попытаться построить 4 пандиагональных квадрата 5х5 из простых чисел с одинаковой магической константой.
Что делать с МК9, ума не приложу. Как строить такой сложный примитивный квадрат из простых чисел?

[Nataly-Mak]

Цитата:

Я думаю есть смысл построить хотя бы один примитивный квадрат 9х9 скажем из простых чисел. Для этого достаточно построить 9 примитивных квадратов 3х3 с одинаковой суммой элементов. А там подумать как из него получить пандиагональный МК.

Pavlovsky
я подумала

Поскольку у меня нет девяти примитивных квадратов 3х3 из простых чисел (с одинаковой суммой элементов), я взяла один и тот же квадрат 9 раз и составила такой примитивный квадрат:

5 59 23 5 59 23 5 59 23
53 107 71 53 107 71 53 107 71
13 67 31 13 67 31 13 67 31
5 59 23 5 59 23 5 59 23
53 107 71 53 107 71 53 107 71
13 67 31 13 67 31 13 67 31
5 59 23 5 59 23 5 59 23
53 107 71 53 107 71 53 107 71
13 67 31 13 67 31 13 67 31

Я знаю, как превратить этот квадрат в пандиагональный. Вот пандиагональный квадрат:

71 5 5 67 71 71 5 67 67
59 67 31 53 5 59 31 71 53
31 53 107 59 31 13 53 59 23
107 23 23 13 107 107 23 13 13
5 13 67 71 23 5 67 107 71
67 71 53 5 67 31 71 5 59
53 59 59 31 53 53 59 31 31
23 31 13 107 59 23 13 53 107
13 107 71 23 13 67 107 23 5

Осталось всего ничего: построить 9 примитивных квадратов 3х3 из различных простых чисел, но с одинаковой суммой элементов.

Кто смелый? Как задачка - простая или не очень?

Если удастся такие примитивные квадраты построить, то пандиагонгальный квадрат 9-го порядка из различных простых чисел будет у нас в кармане.

Да, желательно, конечно, чтобы эти 9 квадратов 3х3 были наименьшие. Но для первого приближения можно любые.

[Nataly-Mak]

Pavlovsky
а вы уверены, что из 9 примитивных квадратов 3х3 с одинаковой суммой элементов можно составить примитивный квадрат 9х9?

Вчера я составила такой квадрат из 9 одинаковых примитивных квадратов 3х3. Это получается (выше показано).
А сегодня решила попробовать из разных квадратов 3х3 построить примитивный квадрат 9х9 (ну, они пока ещё не совсем разные, в них много чисел повторяются, но всё-таки уже не одинаковые).
И у меня ничего не получается

Попробовала два способа. Первый - просто записала все квадраты 3х3 по порядку в матрицу 3х3 квадрата 9х9 (как сделала это в случае одинаковых квадратов), вот так:

3 5 11 3 5 23 3 5 41
29 31 37 107 109 127 29 31 67
269 271 277 179 181 199 239 241 277
3 5 53 3 5 101 3 5 131
29 31 79 29 31 127 29 31 157
227 229 277 179 181 277 149 151 277
3 5 173 3 11 17 3 11 41
29 31 199 23 31 37 233 241 271
107 109 277 263 271 277 29 37 67

Очевидно, что квадрат 9х9 не получился примитивным.
Второй способ - с помощью решётки (аналогично тому, как записывала пандиагогальные квадраты 4х4 в квадрат 8х8):

3 3 3 5 5 5 23 41 11
3 3 3 5 5 5 101 131 53
3 3 3 11 5 11 17 41 173
29 23 233 241 31 31 37 271 199
29 107 29 31 31 109 127 67 37
29 29 29 31 31 31 127 157 79
227 179 149 151 229 181 277 277 277
107 263 29 37 109 271 277 277 277
269 179 239 241 271 181 277 67 277

Тоже примитивный квадрат не получился.

Может быть, есть другой способ, который я не знаю?

[Nataly-Mak]

Примечание к последнему квадрату: в нём переставлены строки и столбцы (подобно тому, как в схеме Россера переставляются строки и столбцы в обычном обратимом квадрате). Я думала, что такая перестановка поможет и квадрат станет примитивным. Нет, не помогла.

[Nataly-Mak]

Раскрутила всё-таки свою программу на меньший квадратик:



Пандиагональный квадрат 8-го порядка из простых чисел с магической константой 2640.

Кто меньше?

Возможные конкуренты (по моим подсчётам) - магические константы: 2400 и 2040, но вероятность очень мала. Есть для этих констант точно 32 пары комплементарных чисел, нужно, чтобы из них построились 4 пандиагональных квадрата 4х4, то есть все пары должны быть задействованы.
Так что, скорее всего, представленный выше квадрат наименьший.

[Nataly-Mak]

Сочинила первый пандиагональный квадрат 10-го порядка из простых чисел, правда, пока с повторяющимися числами.



Построить 4 пандиагональных квадрата 5х5 с магической констнтой 1235, чтобы все они состояли из различных простых чисел, мне пока не удалось. Может быть, не только пока.

Зато это наименьшая магическая константа для квадрата 10-го порядка из простых чисел. Наименьший МК 10-го порядка - обычный - из простых чисел имеет магическую константу 2470.
Поэтому я и начала строить квадраты 5х5 с константой 1235.

Сначала строила примитивные квадраты 5х5, а затем превращала их в пандиагональные (всё по Россеру).

Следует напомнить, что классического пандиагонального квадрата 10-го порядка не существует.
А нетрадиционные существуют. И не только пандиагональные, но даже идеальные и совершенные.

С пандиагональным квадратом 9-го порядка из простых чисел пока туго.

svb
а у вас есть идеи по поводу этого квадрата?

[Nataly-Mak]

Pavlovsky
вспомнила, что у вас есть программа построения примитивных квадратов 5х5 из простых чисел.

Не попробуете найти 4 таких квадрата из разных чисел, дающие пандиагональные квадраты с одинаковой магической константой?

Потенциальные константы:
1235, 1249, 1291, 1339, 1237, 1267, 1243, 1381, 1255, 1321, 1411, 1271, 1253, 1247, 1313, 1319, 1277, 1337, 1343.

Разумеется, можно продолжить, но нам нужны квадраты с наименьшей константой. Может быть, какие-то константы пропущены, я не стала выполнять программу до конца, потому что очень долго.

Затем уже запускаю программу, задав конкретную константу.
С константой 1235 мне не удалось найти 4 таких квадрата, хотя не факт, что их нет. Но факт, что это наименьшая потенциальная константа.

[Nataly-Mak]

Готовлю статью в OEIS о пандиагональных квадратах из простых чисел.
Решила собрать эти квадраты в кучу. Пока найдены только квадраты порядков 4 – 8. Кроме того, нет полной уверенности в минимальности квадратов порядков 7 – 8.
Пандиагональные квадраты порядков 9 – 10 мне удалось построить только с повторяющимися числами.

$n = 4, S = 240$:

 7 107 79 47
89 37 17 97
41 73 113 13
103 23 31 83

post321734.html#p321734

$n = 5, S = 395$ (автор Pavlovsky – Валерий Павловский):

5 73 127 137 53
37 167 17 71 103
83 101 13 67 131
43 31 197 113 11
227 23 41 7 97

http://e-science.ru/forum/index.php?sho ... 0405&st=20

$n = 6, S = 930$ (квадрат из OEIS, A073523):

67 193 71 251 109 239
139 233 113 181 157 107
241 97 191 89 163 149
73 167 131 229 151 179
199 103 227 101 127 173
211 137 197 79 223 83

$n = 7, S = 2477$ (автор svb – Сергей Беляев ):

11 619 491 337 367 359 293 
409 383 41 29 661 557 397 
727 617 439 433 131 59 71 
149 101 137 787 659 463 181 
683 211 199 191 167 197 829 
227 239 853 431 229 241 257 
271 307 317 269 263 601 449

post321366.html#p321366

$n = 8, S = 2640$:

 61 137 103 229 503 311 653 643
47 73 193 251 449 379 631 617
509 313 647 641 67 139 97 227
461 389 619 607 59 83 181 241
157 349 7 17 599 523 557 431
211 281 29 43 613 587 467 409
593 521 563 433 151 347 13 19
601 577 479 419 199 271 41 53

post335156.html#p335156

[Nataly-Mak]

Для составления нетрадиционного пандиагонального квадрата 11-го порядка по Россеру достаточно составить самый простенький примитивный квадрат (никаких в нём дополнительных условий нет!), ибо порядок 11 есть простое число.

Составить такой примитивный квадрат из произвольных натуральных чисел проще пареной репы.
Однако для простых чисел всё не так просто. Для порядка 7 это блестяще выполнил svb.

Тогда мне пришла в голову такая идея: возьмём примитивный квадрат 7х7, соответствующий пандиагональному квадрату svb, и попытаемся достроить его до примитивного квадрата 11х11.

Вот картинка:



Задача: найти простые числа 601<a<b<c<d и 263<e<f<g<h, такие, чтобы можно было достроить приведённый примитивный квадрат 7х7 до примитивного квадрата 11х11, в котором все числа будут простыми.

Ну, вот такая совсем простенькая задачка. Кто решит, тому пирожок :)

Попутно надо решить вторую задачу: установить минимальность примитивного квадрата 7х7, найденного svb. Нельзя ли построить примитивный квадрат 7х7 из меньших простых чисел?
Это даст ответ на вопрос о минимальности пандиагонального квадрата 7-го порядка, построенного svb.

Да, и в первой задаче простые числа $a, b, ..., h$ могут быть любыми (удовлетворяющими указанным условиям), но желательно искать минимально возможные.

-- Вс июл 04, 2010 09:24:09 --

А это пандиагональный квадрат 12-го порядка из простых чисел:



Взяла 4 эквивалентных варианта одного и того же пандиагонального квадрата 6-го порядка из простых чисел и заполнила матрицу 12х12 по решётке Россера.
Один изъян: каждое число в этом квадрате повторено 4 раза. Всё равно красивый квадрат!

Но вот построить 4 пандиагональных квадрата 6х6 из различных простых чисел с одинаковой магической константой - это проблема. Даже и метод построения нетрадиционного пандиагонального квадрата 6х6 из простых чисел неизвестен.
Из произвольных натуральных чисел я такой метод знаю, он описан у меня в статье "Нетрадиционные магические квадраты".

[svb]

S=2437

13 863 433 317 263 277 271 
307 337 43 53 877 467 353 
911 503 397 367 109 83 67 
149 97 101 947 547 457 139 
607 229 179 163 131 137 991 
167 181 1051 379 269 193 197 
283 227 233 211 241 823 419 

S=2435

11 653 521 499 271 239 241 
331 281 19 23 683 557 541 
719 599 601 373 59 31 53 
71 61 89 761 659 643 151 
701 421 163 101 97 131 821 
139 191 863 479 433 193 137 
463 229 179 199 233 641 491 

S=2363

41 653 409 443 241 293 283 
311 313 53 47 673 479 487 
743 523 557 331 83 59 67 
89 79 137 787 593 577 101 
613 347 107 109 149 181 857 
193 251 877 383 353 127 179 
373 197 223 263 271 647 389 

S=2279

13 683 467 293 317 277 229 
331 313 43 23 719 491 359 
743 557 373 367 127 53 59 
137 89 83 809 571 409 181 
607 223 191 173 113 149 823 
179 163 859 421 233 227 197 
269 251 263 193 199 673 431 

S=2125

17 733 379 389 193 173 241 
229 251 31 23 739 409 443 
769 463 479 307 41 37 29 
47 43 59 823 499 557 97 
577 347 103 53 73 113 859 
127 149 937 367 353 109 83 
359 139 137 163 227 727 373 

S=2047

11 601 419 349 241 227 199 
271 269 37 41 631 431 367 
643 449 397 313 107 67 71 
137 97 83 661 479 439 151 
521 277 181 167 109 101 691 
127 131 733 359 307 211 179 
337 223 197 157 173 571 389 

[Nataly-Mak]

Взяла примитивный квадрат 7х7 (соответствующий только что построенному svb пандиагональному квадрату с нименьшей магической константой) и попыталась его достроить до примитивного квадрата 11х11. Чтобы все числа были простыми, не удалось достичь (может быть, просто потому, что моя программа не охватывает большой массив простых чисел). В квадрате есть 4 числа, не являющихся простыми.



Числа, не являющиеся простыми, выделены красным цветом.

Далее применила преобразование Россера к этому примитивному квадрату и получила следующий пандиагональный квадрат 11-го порядка:

7487 631 241 173 4783 21269 137 10639 2341 1009 9769
20921 3301 431 227 11299 11953 277 97 7577 733 1663
9839 10567 2281 367 199 8999 21481 181 83 3391 1091
1789 20947 7517 643 271 743 13003 359 167 10657 2383
1303 9883 11 3331 449 269 12079 23131 307 109 7607
3433 1871 21017 10597 2293 397 769 17219 571 211 101
10687 2953 10009 37 7547 661 313 1523 24181 389 179
127 7649 2083 21061 41 3343 479 839 20299 2221 337
223 131 4003 10091 107 10627 2311 439 1549 28397 601
419 197 10729 3733 21187 67 7559 691 883 9743 3271
2251 349 157 8219 10303 151 71 3361 521 1619 31477

Всё хорошо работает. Вот только не все числа в этом пандиагональном квадрате простые.
Ну, получила просто нетрадиционный пандиагональный квадрат 11-го порядка, построенный методом Россера.

Если бы удалось достроить так, что все числа оказались бы простыми, тогда задача была бы решена, то есть был бы построен пандиагональный квадрат 11-го порядка из простых чисел.

Строить примитивный квадрат 11х11 из простых чисел, начиная с нуля, пока не пыталась, хотя алгоритм такого построения вполне прозрачен.