2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Решение системы
Сообщение23.09.2006, 21:25 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Пусть $E$ - невырожденная матрица, строками которой являются единичные вектора. Рассмотрим 4 системы уравнений $Ex=(1\ 1\ 1)^T,\ Ex=(1\ 1\ -1)^T,\ Ex=(1\ -1\ 1)^T,\ Ex=(1\ -1\ -1)^T$. Доказать, что хотя бы одно из решений $x_0$ удовлетворяет условию $||x_0||>1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы
Сообщение23.09.2006, 21:31 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Юстас писал(а):
Пусть $E$ - невырожденная матрица, строками которой являются единичные вектора. Рассмотрим 4 системы уравнений $Ex=(1\ 1\ 1)^T,\ Ex=(1\ 1\ -1)^T,\ Ex=(1\ -1\ 1)^T,\ Ex=(1\ -1\ -1)^T$. Доказать, что хотя бы одно из решений $x_0$ удовлетворяет условию $||x_0||>1$.

Не понятно, что значит строки единичные вектора (размер думаю 3*3). Не понятно так же, что за норма в последнем случае. Думаю норма такая же как и для "единичных" векторов, только какая.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.09.2006, 21:35 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Имеется ввиду, что $(e_{11}\ e_{12}\ e_{13}),\ (e_{21}\ e_{22}\ e_{23}),\ (e_{31}\ e_{32}\ e_{33})$- единичные вектора. Норма подразумевается сферическая, почему-то в первом сообщении не отобразилось, хотя я добавлял.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.09.2006, 21:51 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Тогда, каждое уравнение есть $(e_i,x)=\pm 1, \ e_i=(e_{i,1},e_{i,2},e_{i,3}), \ x=(x_1,x_2,x_3)$. Так что достаточно одного уравнения для получения вашей оценки. Я думаю имелось в виду: $||x||\ge \sqrt 3 .$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.09.2006, 08:19 
Заслуженный участник


01/12/05
458
На самом деле эта задача геометрически эквивалентна тому, что в пространсве всегда существует прямая, образующая равные углы с тремя заданными прямыми. Как несложно понять, таких прямых в общем случае будет хотя бы 3. Поэтому нижняя оценка нормы $x_0$ - это $\frac{1}{\min\limits_k |cos(\alpha_k)|}$, $\alpha_k$-углы, которые образует искомая прямая с тремя заданными. Единица - очевидная оценка, но мне показалось, что в такой постановке она не будет тривальной, хотя оказалось наоборот.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.09.2006, 08:35 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
А то, что я написал, означает, что углы не меньше 90 градусов для каждого за счёт изменения направлений основных векторов e(1),e(2),e(3).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group