Решение системы

[Юстас]

Пусть $E$ - невырожденная матрица, строками которой являются единичные вектора. Рассмотрим 4 системы уравнений $Ex=(1\ 1\ 1)^T,\ Ex=(1\ 1\ -1)^T,\ Ex=(1\ -1\ 1)^T,\ Ex=(1\ -1\ -1)^T$. Доказать, что хотя бы одно из решений $x_0$ удовлетворяет условию $||x_0||>1$.

[Руст]

Юстас писал(а):

Пусть $E$ - невырожденная матрица, строками которой являются единичные вектора. Рассмотрим 4 системы уравнений $Ex=(1\ 1\ 1)^T,\ Ex=(1\ 1\ -1)^T,\ Ex=(1\ -1\ 1)^T,\ Ex=(1\ -1\ -1)^T$. Доказать, что хотя бы одно из решений $x_0$ удовлетворяет условию $||x_0||>1$.

Не понятно, что значит строки единичные вектора (размер думаю 3*3). Не понятно так же, что за норма в последнем случае. Думаю норма такая же как и для "единичных" векторов, только какая.

[Юстас]

Имеется ввиду, что $(e_{11}\ e_{12}\ e_{13}),\ (e_{21}\ e_{22}\ e_{23}),\ (e_{31}\ e_{32}\ e_{33})$- единичные вектора. Норма подразумевается сферическая, почему-то в первом сообщении не отобразилось, хотя я добавлял.

[Руст]

Тогда, каждое уравнение есть $(e_i,x)=\pm 1, \ e_i=(e_{i,1},e_{i,2},e_{i,3}), \ x=(x_1,x_2,x_3)$. Так что достаточно одного уравнения для получения вашей оценки. Я думаю имелось в виду: $||x||\ge \sqrt 3 .$

[Юстас]

На самом деле эта задача геометрически эквивалентна тому, что в пространсве всегда существует прямая, образующая равные углы с тремя заданными прямыми. Как несложно понять, таких прямых в общем случае будет хотя бы 3. Поэтому нижняя оценка нормы $x_0$ - это $\frac{1}{\min\limits_k |cos(\alpha_k)|}$, $\alpha_k$-углы, которые образует искомая прямая с тремя заданными. Единица - очевидная оценка, но мне показалось, что в такой постановке она не будет тривальной, хотя оказалось наоборот.

[Руст]

А то, что я написал, означает, что углы не меньше 90 градусов для каждого за счёт изменения направлений основных векторов e(1),e(2),e(3).