Частично упорядоченное множество подпоследовательностей

[Padawan]

Рассмотрим множество всех подпоследовательностей натурального ряда, т.е. такие последовательности натуральных чисел $\{n_k\}_{k=1}^\infty$, что $n_1<n_2<n_3<\ldots$
Две последовательности $\{n_k\}$ и $\{m_k\}$ назовём эквивалентными, если они совпадают, начиная с некоторого номера, т.е. существует $k_0$, что $n_k=m_k$ при всех $k>k_0$.
Введём на классах эквивалентности отношение частичного порядка, полагая $\{n_k\}\geq\{m_k\}$, если $\{m_k\}$ является подпоследовательностью $\{n_k\}$, начиная с некоторого номера, т.е. существует $l_0$, что $m_l=n_{k_l}$ при всех $l>l_0$. Это определение не зависит от выбора представителей из рассматриваемых классов эквивалентности.

Рассматривается ли где-нибудь в литературе структура получающегося частично упорядоченного множества? В частности, меня интересует какова максимальная мощность линейно упорядоченного подмножества? Будет ли любое линейно упорядоченное подмножество вполне упорядоченным?

[Xaositect]

Насчет литературы не скажу.

Тут было написано неочевидное утверждение.

Теперь по поводу вполне упорядочения. В нашем ЧУМ есть наибольший элемент - класс последовательностей, изоморфных натуральному ряду. Минимальных элементов нет. Далее, между любыми двумя классами $a < b$ существует промежуточный класс: начиная с некоторого элемента $a$ есть подпоследовательность $b$, причем множество $a\setminus b$ бесконечно (иначе $a\sim b$), поэтому, добавив к $b$ любую собственную подпоследовательность последовательности $a\setminus b$, получим искомый промежуточный элемент.
То есть существует счетная цепь, которая является плотное линейное упорядочение без макс. и мин. элементов. Это порядковый тип $\eta$ рациональных чисел. Напомню, что в $\eta$ можно вложить любое не более чем счетное упорядоченное множество.

-- Пт июн 25, 2010 13:42:25 --

Так, написал я про счетность цепей и задумался, а правда ли это Конечно, неправда.

[Хорхе]

Ведь в булеане счетного множества есть несчетная цепь, так и тут должна быть.

UPD: А, ну конечно. Сперва выкинем из этой несчетной цепи все конечные множества.

Их там нет по построению

Потом поделим на классы эквивалентности: два множества эквивалентны, если отличаются конечным числом элементов (эта эквивалентность шире, чем эквивалентность соответствующих последовательностей). В каждом классе не более, чем счетное количество элементов, оставим по одному представителю.

В каждом классе один элемент по построению.

(Видимо, можно обойтись и без аксиомы выбора, ведь при построении несчетной цепи в $\mathcal P(\mathbb N)$ она не нужна. Впрочем, мне спорт "обойтись без аксиомы выбора" не очень интересен )

Да, аксиома выбора не нужна. Отсутствие интереса к спорту не означает отсутствия успехов в нем :)

-- Пт июн 25, 2010 15:27:22 --

Собственно, тут же и ответ на вопрос про вполне упорядоченность. Так как эта несчетная цепь как чум изоморфна $\mathbb{R}$, то ни о какой вполне упорядоченности речь не идет. Ага, на этот вопрос уже ответил Xaositect.

[Padawan]

Хорхе,Xaositect
Так, я не понял, вопрос про счетность еще открыт, или уже всё? А то по сообщению Хорхе не понятно...

[Xaositect]

Padawan в сообщении #335020 писал(а):

Хорхе,Xaositect
Так, я не понял, вопрос про счетность еще открыт, или уже всё? А то по сообщению Хорхе не понятно...

Уже все, существует несчетная цепь.
Строится она как цепь множеств вида $\{q(x)|x<a\}, a\in\mathbb{R}$, $q$ - биекция $\mathbb{Q}\to\mathbb{N}$.

-- Пт июн 25, 2010 15:21:15 --

Эти все множества счетные и могут быть сопоставлены последовательностям.