Несчетность базиса R^N

[Marilym]

Задачка:
Доказать, что базис $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ несчетен.

Может, я туплю, но что-то у меня ничего конструктивного не получается. Помогите, если не трудно

[Someone]

Marilym писал(а):

Доказать, что базис $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ несчетен.

Базис в каком смысле?

[Руст]

Естественно речь идёт об алгебраическом базисе в множество последовательностей чисел. Доказательство диагональным методом. Т.е. предполагаем, что базис счётный и строим вектор (последовательность чисел), отличающийся на n+1 месте от любой комбинации первых n при совпадении первых n координат.

[Marilym]

может, я снова туплю, но все-таки до меня не дошло. никак от каникул не оправлюсь

Можно поподробней?

[Dan_Te]

Это очень просто. Давайте сыграем в такую игру: я называю некоторую конечную систему линейно независимых векторов $x_1,\ldots,x_n\in\mathbb R^n$, которую объявляю базисом, а вы опровергаете меня и предъявляете вектор $y\in\mathbb R^n$, не принадлежащий $span(x_1,\ldots,x_n)$, то есть не выразимый в виде их линейной комбинации.

Мой ход:
$x_1=(1,0,0,\ldots)$
$x_2=(0,1,0,\ldots)$
...
$x_n=(0,\ldots\,0,1,0,0,\ldots)$ (единица на n-й позиции).

Предъявите вектор, который нельзя выразить их линейной комбинацией.

[Marilym]

Идею я, кажется, понимаю. Только до конца у меня не получается.
Вот смотрите, допустим есть счетный базис:
1) $(f_{11}, f_{12}, f_{13} \dots )$ 2) $(f_{21}, f_{22}, f_{23} \dots )$ $\vdots$
Будем пытаться строить вектор $(f_1, f_2, f_3, \dots)$ такой, чтобы он не выражался через конечную линейную комбинацию базисных векторов.
$f_1$ выбираем произольно. $f_2$ выбираем так, чтобы $(f_1,f_2)$ не было пропорционально $(f_{11}, f_{12)}$.

Далее... Если $det |f_{ij}|_{i,j=\overline{1,2}}\ne 0$, то решаем систему $k_1 f_{11}+k_2 f_{21}=f_1; k_1 f_{12}+k_2 f_{22}=f_2$. И выбираем $f_3\ne k_1 f_{13}+k_2 f_{23}$. Если определитель нулевой, то$f_3$ выбираем произвольно (или нет???).

В общем, у меня глюк на n-м шаге. То есть, когда я выбираю $f_n$ при условии, что $det |f_{ij}|_{i,j=\overline{1,n-1}}=0$.. Всегда ли я смогу выбрать
$f_n$ так чтобы полученный вектор не был линейной комбинацией первых n-1 базисных? Ведь $f_1, f_2, ... f_{n-1}$ уже зафиксированы.

Короче, я где-то торможу. Или я вообще не тем путем пошла?

[lofar]

Ваша задача обсуждалась здесь в общей постановке.

Размерность $\mathbb R^{\mathbb N}$ над $\mathbb R$ равна $2^{\aleph_0}$ (континуум).

В том что размерность несчетна можно убедиться совсем просто. Пусть $a_{\lambda} = (1,\lambda,\lambda^2,\lambda^3,...)$, $\{a_{\lambda}|\lambda\in\mathbb R\}$ --- континуальноее линейно-независимое семейство. Линейная независимость вытекает из свойств определителей Вандермонда. (Этот классический прием используется и в общем случае.)

[Marilym]

Спасибо всем большое за помощь Наконец, со всем разобралась