2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Несчетность базиса R^N
Сообщение18.09.2006, 18:47 
Задачка:
Доказать, что базис $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ несчетен.

Может, я туплю, но что-то у меня ничего конструктивного не получается. Помогите, если не трудно :)

 
 
 
 Re: Несчетность базиса
Сообщение18.09.2006, 19:36 
Аватара пользователя
Marilym писал(а):
Доказать, что базис $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ несчетен.


Базис в каком смысле?

 
 
 
 
Сообщение18.09.2006, 20:34 
Естественно речь идёт об алгебраическом базисе в множество последовательностей чисел. Доказательство диагональным методом. Т.е. предполагаем, что базис счётный и строим вектор (последовательность чисел), отличающийся на n+1 месте от любой комбинации первых n при совпадении первых n координат.

 
 
 
 
Сообщение18.09.2006, 20:50 
может, я снова туплю, но все-таки до меня не дошло. :( никак от каникул не оправлюсь :)

Можно поподробней?

 
 
 
 
Сообщение19.09.2006, 00:30 
Это очень просто. Давайте сыграем в такую игру: я называю некоторую конечную систему линейно независимых векторов $x_1,\ldots,x_n\in\mathbb R^n$, которую объявляю базисом, а вы опровергаете меня и предъявляете вектор $y\in\mathbb R^n$, не принадлежащий $span(x_1,\ldots,x_n)$, то есть не выразимый в виде их линейной комбинации.

Мой ход:
$x_1=(1,0,0,\ldots)$
$x_2=(0,1,0,\ldots)$
...
$x_n=(0,\ldots\,0,1,0,0,\ldots)$ (единица на n-й позиции).

Предъявите вектор, который нельзя выразить их линейной комбинацией.

 
 
 
 
Сообщение20.09.2006, 09:11 
Идею я, кажется, понимаю. Только до конца у меня не получается.
Вот смотрите, допустим есть счетный базис:
1) $(f_{11}, f_{12}, f_{13} \dots )$

2) $(f_{21}, f_{22}, f_{23} \dots )$

$\vdots$
Будем пытаться строить вектор $(f_1, f_2, f_3, \dots)$ такой, чтобы он не выражался через конечную линейную комбинацию базисных векторов.
$f_1$ выбираем произольно. $f_2$ выбираем так, чтобы $(f_1,f_2)$ не было пропорционально $(f_{11}, f_{12)}$.

Далее... Если $det |f_{ij}|_{i,j=\overline{1,2}}\ne 0$, то решаем систему $k_1 f_{11}+k_2 f_{21}=f_1; k_1 f_{12}+k_2 f_{22}=f_2$. И выбираем $f_3\ne k_1 f_{13}+k_2 f_{23}$. Если определитель нулевой, то$f_3$ выбираем произвольно (или нет???).

В общем, у меня глюк на n-м шаге. То есть, когда я выбираю $f_n$ при условии, что $det |f_{ij}|_{i,j=\overline{1,n-1}}=0$.. Всегда ли я смогу выбрать
$f_n$ так чтобы полученный вектор не был линейной комбинацией первых n-1 базисных? Ведь $f_1, f_2, ... f_{n-1}$ уже зафиксированы.

Короче, я где-то торможу. Или я вообще не тем путем пошла? :)

 
 
 
 
Сообщение20.09.2006, 21:31 
Аватара пользователя
Ваша задача обсуждалась здесь в общей постановке.

Размерность $\mathbb R^{\mathbb N}$ над $\mathbb R$ равна $2^{\aleph_0}$ (континуум).

В том что размерность несчетна можно убедиться совсем просто. Пусть $a_{\lambda} = (1,\lambda,\lambda^2,\lambda^3,...)$, $\{a_{\lambda}|\lambda\in\mathbb R\}$ --- континуальноее линейно-независимое семейство. Линейная независимость вытекает из свойств определителей Вандермонда. (Этот классический прием используется и в общем случае.)

 
 
 
 
Сообщение23.09.2006, 19:37 
Спасибо всем большое за помощь :) Наконец, со всем разобралась

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group