Масло

[whiterussian]

У меня получилось
$\epsilon=1+\frac{\rho ghd^2}{\epsilon_0 V^2}$

[mihiv]

У меня ответ немного другой

$$\epsilon =1+\frac {2\rho ghd^2}{\epsilon _0V^2}$$

[whiterussian]

Вы забыли, что потенциальная энергия столбика жидкости будет $\frac{1}{2}mgh$

[mihiv]

whiterussian в сообщении #334331 писал(а):

Вы забыли, что потенциальная энергия столбика жидкости будет $\frac{1}{2}mgh$

Это я учитывал,дополнительная двойка появляется потому, что потенциальная энергия столбика жидкости пропорциональна его высоте в квадрате.

[lel0lel]

whiterussian в сообщении #334313 писал(а):

Повторюсь, закон сохранения будет звучать так:
Потенциальная энергия полностью пустого конденсатора + ПЭ столбика масла = ПЭ сложного конденсатора, который частично заполнен маслом.

Если честно, то мне не ясно каким образом здесь работает закон сохранения. В этом случае действительно получается ответ отличающийся множителем $2$. Эту задачу можно решить, только найдя тот уровень, при котором реализуется минимум энергии.

Закон же сохранения здесь можно такой записать: $W_{\text{complex}}+{\rho g a d\cdot h^2\over 2}}=W_{\text{empty}}+A_{\text{exterior}}\,$ , но как работа сторонних сил связана с $h$ мы не знаем. Правда, когда задача уже решена, можно вычислить, что $A_{\text{exterior}}={3\over 2}{\rho g a d\cdot h^2}}$

[Nogin Anton]

У меня ответ никак не сходится с Вашим.
Посмотрите пожалуйста, где я не прав:

Согласно закону сохранения энергии:

$\frac{mgh}{2}+\frac{\epsilon \cdot \epsilon_0 \cdot h\cdot a}{d}\cdot \frac{U^2}{2}+\frac{\epsilon_0(b-h)}{d}\cdot \frac{U^2}{2}=min$

Нахожу минимум потенциальной энергии для высоты h

Так как $\rho =\frac{m}{V}$, тогда $m=\rho \cdot V=\rho h\cdot d\cdot a$

С этим учётом переписываю первое уравнение:

$\frac{\rho \cdot d\cdot a \cdot g \cdot h^2}{2}+\frac{\epsilon \cdot \epsilon_0 \cdot h\cdot a}{d}\cdot \frac{U^2}{2}+\frac{\epsilon_0 (b-h)}{d}\cdot \frac{U^2}{2}=min$

Продифференцировав относительно h, получаю

$rho \cdot d\cdot a \cdot g \cdot h+\frac{\epsilon \cdot \epsilon_0 cdot a}{d}\cdot \frac{U^2}{2}-\frac{\epsilon_0 }{d}\cdot \frac{U^2}{2}=0$

$\epsilon = (\frac{\epsilon_0 }{d}\cdot \frac{U^2}{2}-rho \cdot d\cdot a \cdot g \cdot h)\cdot \frac{2d}{U^2 \cdot \epsilon_0 \cdot a}$

[Nogin Anton]

Подскажите где ошибка?

[Nogin Anton]

Не пойму как у Вас получается такой ответ...

[mihiv]

Если отсоединить заряженный конденсатор со столбиком масла от источника напряжения,то равновесие системы не нарушится (при этом на конденсаторе накоплен некоторый заряд $Q_0$,но тогда исходная задача равносильна такой: воздушному конденсатору сообщили заряд $Q_0$,затем отсоединили его от источника напряжения и привели в соприкосновение с маслом.В процессе установления равновесия заряд конденсатора остается постоянным и равным $Q_0$ и положение равновесия можно искать,минимизируя потенциальную энергию системы:

$$W(x)=\frac {Q_0^2}{2C(x)}+\frac {\rho gdax^2}2$$

где $C(x)=\frac {\epsilon _0S}d\left (\frac {(\epsilon -1)x+1}l+1\right ).$
Из условия задачи известно,что $W'(h)=0$,отсюда,учитывая,что $\frac {Q_0}{C(h)}=V$ находим $\epsilon .$