[ТФФА] Задача о наилучшем приближении в гильбертовом простра

[мат-ламер]

terminator-II в сообщении #333742 писал(а):

мат-ламер в сообщении #333537 писал(а):

Пространства, для которых справедлива теорема из первого поста называются равномерно выпуклыми

это что-то странное, во-всяком случае это определение не эквивалентно стандартному

Вижу, что неправильно выразился. Определение конечно другое. Но оно как-бы приспособлено для теоремы из первого поста.

[мат-ламер]

Сейчас пытаюсь разабраться, не перепутал ли я равномерно выпуклые пространства со строго выпуклыми пространствами. Самому интересно стало. Как разберусь - отпишусь подробнее.

[мат-ламер]

Нормированное линейное пространство $X$ называется равномерно выпуклым, если $\forall \epsilon >0 $ $ \exists \delta>0 $, что $||x||\le1,||y||\le 1,||x-y||\ge \epsilon \to ||(x+y)/2||\le 1-\delta$. Равносильное определение - $X$ равномерно выпукло тогда и только тогда, когда для любой пары последовательностей $x_n,y_n,||x_n||\le 1, ||y_n||\le 1$ из того, что $||(x_n+y_n)/2||\to 1$ следует $||x_n-y_n||\to 0$.

(Оффтоп)

Извините, буду по частям. Вчера были скачки напряжения.

-- Чт июн 24, 2010 21:36:12 --

Геометрический смысл второго определения сосоит в том, что если мы возьмём параллелограмм с единичными сторонами и будем растягивать его, так что вторая диагональ стремится к двойке, то точки, лежащие на малой диагонали, стремятся друг к другу. Т.е. это некоторое естественное обобщение равенства параллелограмма на не гильбертовые пространства. В этом определении единица может заменена на любое число. Из этого определения легко выводится теорема из первого поста для банаховых равномерно выпуклых пространств.
Есть ещё строго выпуклые пространства. Это те, у которых аксиома неравенства треугольника выполняется строго за исключением колинеарных векторов. Для таких пространств можно доказать теорему из первого поста в части единственности.

-- Чт июн 24, 2010 21:42:00 --

Равномерно выпуклые пространства являются строго выпуклыми. Те, в свою очередь, рефлексивными. Пространства $L_p$ - равномерно выпуклые. Я в своём первом посту допустил неточность. То что для равномерно выпуклых пространств теорема верна - это провда. Но из того, что теорема верна для какого-либо пространства, не следует, что это пространство равномерно выпукло.