Инвариантные подпространства

[Полосин]

Рассмотрите индуцированный оператор на предполагаемом инвариантном подпространстве.

[polar846]

уважаемые математики
подскажите пожалуйста: мне тоже не совсем понятно.

Пусть лин оператор задан матрицей в вещ пространстве размерности n
- если у матрицы все корни характ уравнения разные - то число инвариантных пространств 2^n
- если хоть один корень, отличный от ноля - кратный, то число пространств = бесконечность
- а если скажем корень ноль кратный. Какой-нибудь кратности 3. То что тогда?

[ewert]

polar846 в сообщении #334619 писал(а):

- то число инвариантных пространств 2^n

Ну это уже пикантно. Как это число подпространств -- может превысить размерность пространства?... какой вообще в этом заклинании смысл-то может быть?...

polar846 в сообщении #334619 писал(а):

- если хоть один корень, отличный от ноля - кратный,

Ещё пикантнее. Чем, собственно, нулевой корень -- может отличаться ото всех остальных?...

Короче -- каша.

[polar846]

Уважаемый ewert
2^n имелось в виду включая пустое

по поводу кратного нулевого корня: например матрица в n=3 где элементы a12=a21=a23=a32=1 - имеет кратное собств число 0, но количество инвариантных подпространств - не бесконечно.


по поводу каши - нет возражений. по этому я и спрашиваю)

[Padawan]

ewert в сообщении #334633 писал(а):

polar846 в сообщении #334619 писал(а):

- то число инвариантных пространств 2^n

Ну это уже пикантно. Как это число подпространств -- может превысить размерность пространства?... какой вообще в этом заклинании смысл-то может быть?...

Всё правильно, $2^n$.

[polar846]

И все таки, что делать с собственным числом 0 кратности n?

[Padawan]

polar846 в сообщении #334671 писал(а):

И все таки, что делать с собственным числом 0 кратности n?

Любое подпространство - инвариантное.

[polar846]

Спасибо за ответ :)
Но вопрос был: сколько этих подпространств будет. Есть ли четкий алгоритм их нахождения в случае если есть собственное число 0 кратности не ноль.

Так например в примере
например матрица в n=3 где элементы a12=a21=a23=a32=1

Этих подпространств - четыре.

[ewert]

Padawan в сообщении #334667 писал(а):

Всё правильно, $2^n$.

да, "формально -- правильно, а по существу -- издевательство" $\copyright$. Ну какому нормальному человеку придёт в голову пересчитывать инвариантные подпространства на пальцах, учитывая к тому же, что кратные собственные числа -- это, в некотором смысле, случай общего положения?!...

polar846 в сообщении #334671 писал(а):

И все таки, что делать с собственным числом 0 кратности n?

Ничего не делать. Конкретно с нулём. Ноль как собственное число -- ничем не лучше и не хуже любого другого.

Padawan в сообщении #334673 писал(а):

Любое подпространство - инвариантное.

Не факт, между кстати. Кто сказал, что матрица -- нулевая?...

Со всех сторон задачка -- дурацкая.

[polar846]

Уважаемый ewert

Вы правы, в некотором роде. Но у меня оказался существенный пробел в планах нахождения числа собственных инвариантных подпространств для матриц. Если у вас есть компактный (и перевариваемый) материал, или предложение, как считать число инвариантных ппространств для нулевых матриц - я бы очень был бы Вам признателен.

Издеваться - не входит в мою задачу))

[Padawan]

ewert в сообщении #334685 писал(а):

Padawan в сообщении #334673 писал(а):

Любое подпространство - инвариантное.

Не факт, между кстати. Кто сказал, что матрица -- нулевая?...

Блин, я на автомате диагонализируемый случай и сюда перенес

ewert в сообщении #334685 писал(а):

Со всех сторон задачка -- дурацкая.

Просто трудная. А так-то хорошая.

[polar846]

Может быть у Вас найдется хотя бы ссылка на ликбез по инвариантным подпространствам?

[ewert]

polar846 в сообщении #334687 писал(а):

Если у вас есть компактный (и перевариваемый) материал, или предложение, как считать число инвариантных ппространств для нулевых матриц

У меня нет конкретного предложения. Но есть зато контрпредложение: никогда, никогда не задумывайтесь о количестве мыслимых инвариантных подпространств. Это никогда, никому и ни с какой точки зрения практически не нужно. (Ну разве что начальству именно это приспичило -- тогда сочувствую.)

И ещё: Ваше начальство явно полагает, что "кратное собственное число" -- это собственное число, имеющее неединичную геометрическую кратность. Ну тут оно откровенно входит в противоречие со всем цивилизованным миром.

[polar846]

)) спасибо

Но вот например для вышепреведенной матрицы. Надо найти собств числа (это 0), затем собственные вектора...а дальше?)

[mkot]

polar846 в сообщении #334656 писал(а):

Уважаемый ewert
2^n имелось в виду включая пустое

2^n согласен, но пустого не бывает пространства, бывает нулевое, заметьте разницу.

polar846 в сообщении #334619 писал(а):

- если хоть один корень, отличный от ноля - кратный, то число пространств = бесконечность

Ну не правда, рассмотрите матрицу

$$ \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right). $$

polar846, Ноль тут не причём.
ewert, задача описания всех инвариантных подпространств, очень хорошая, она приводит к пониманию того, как устроена жорданова форма матрицы.

А алгоритм прост для любой матрицы. Нужно привести её к жордановой нормальной форме и выписывать инвариантные подпространства для неё.
Сначала для клеток, это просто, а потом из них строим все остальные.

polar846 в сообщении #334679 писал(а):

Но вопрос был: сколько этих подпространств будет. Есть ли четкий алгоритм их нахождения в случае если есть собственное число 0 кратности не ноль.

Так например в примере
например матрица в n=3 где элементы a12=a21=a23=a32=1

Чё-т не вижу здесь чтоб ноль был кратным корнем.

ewert в сообщении #334720 писал(а):

имеющее неединичную геометрическую кратность.

Никогда не понимал эту странную терминологию. Кратность -- это нормальная кратность в смысле многочлена, других не надо.