на эллипсоиде найти точку максимально удалённую от точки

[ShMaxG]

Вам надо найти точку на поверхности эллипсоида, максимально удаленную от данной. Это значит, что вы решаете оптимизационную задачу $\[\rho \left( {A,E} \right) \to \max \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} \to \max \hfill \\ {x^2} + 2{y^2} + 4{z^2} - 8 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\] $.

$\[\rho \left( {A,E} \right)\]$ - расстояние от точки $A$ до любой точки эллипсоида $E$.

Т.е. надо решить такую задачу: $\[\left\{ \begin{gathered} f\left( {x,y,z} \right) \to \max \hfill \\ g\left( {x,y,z} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$.

Для этого составляют лагранжиан $\[L\left( {x,y,z} \right) = f\left( {x,y,z} \right) + \lambda g\left( {x,y,z} \right)\]$ и ищут его стационарные точки.

Потом их подставляете в исходную функцию $\[f\left( {x,y,z} \right)\]$ и выясняете, на каких ее значение наибольшее.

[butterfly]

я так пробовала в итоге у меня ничего не получилось(есть точка только минимально удалённая)

[ShMaxG]

butterfly
Пробовали? Замечательно! Давайте сюда ваши попытки.

В любом случае этот способ дает как минимумы, так и максимумы. Может где-то ошиблись.

[butterfly]

получились точки $A1(2,0,-1),A2(-2,0,-1),A3(0,0,sqrt2),A4(0,0,-sqrt2)$

-- Вт июн 22, 2010 19:09:07 --

дальше надо составлять матрицу Гессе?

[ShMaxG]

Зачем? Подставляйте эти точки в функцию расстояния, $\[f\left( {x,y,z} \right)\]$. Ну и найдите, где значение - наибольшее.
А можно да, составить матрицу вторых производных функции Лагранжа. Если получилась отрицательно определенной - имеем максимум. Если положительно определенной - минимум. Если неопределенная - то надо повозиться.

[butterfly]

спасибо

[ShMaxG]

Точки найдены правильно.