Интересные ряды

[Ranax]

Я вот решил использовать формулы интегрального и дифференциального исчисления в теории целых чисел, и получил довольно интересные результаты
Удалось соединить арифметическую и геометрическую прогрессии
$1\cdot 2^0 +2\cdot 2^1+3\cdot 2^2+...+n\cdot2^{n-1}=2^n\cdot(n-1)+1$
И вот еще одна замечательная формула
$1^2\cdot2^0 +2^2\cdot2^1 +3^2\cdot2^2 +4^2\cdot2^3 +...+ n^2\cdot2^{n-1}=2^n\cdot(n^2-2n+3) -3$
Интересно, а как математики суммируют подобные ряды? Ведь их формулы суммы отнюдь не очевидны!

[meduza]

Можно найти с помощью т. н. "суммирования по частям". Это есть в "Конкретной математике" Грэхема, Кнута, Поташника. Сумма $\sum\limits_{k=0}^n k 2^k$, к которому сводится первый пример, там даже разобрана вроде бы.

[Zealint]

Ranax в сообщении #333503 писал(а):

Я вот решил использовать формулы интегрального и дифференциального исчисления в теории целых чисел, и получил довольно интересные результаты
Удалось соединить арифметическую и геометрическую прогрессии
$1\cdot 2^0 +2\cdot 2^1+3\cdot 2^2+...+n\cdot2^{n-1}=2^n\cdot(n-1)+1$
И вот еще одна замечательная формула
$1^2\cdot2^0 +2^2\cdot2^1 +3^2\cdot2^2 +4^2\cdot2^3 +...+ n^2\cdot2^{n-1}=2^n\cdot(n^2-2n+3) -3$
Интересно, а как математики суммируют подобные ряды? Ведь их формулы суммы отнюдь не очевидны!

Это все было. Теоретическое обоснования этого "целочисленного интегрирования" изложены в книге "Конкретная математика". Там решаются не только эти примеры, но и другие похожие (ну вот, пока я это писал, меня уже опередил тов. meduza).

Что касается меня (хотя я не математик), то я просто записываю производящую функцию и смотрю, что там получается. В первом случае:

$$ G(z) = \frac{z}{(1-z)^2} $$

Эта функция порождает последовательность: $0,1,4,12,32,80,\ldots,n2^{n-1}$.
Теперь создаём новую функцию:

$$ \frac{1}{1-z}G(z) = \frac{z}{(1-z)(1-z)^2} $$

Она порождает последовательность частичных сумм исходной последовательности, то есть $0,1,5,17,49,129,\ldots$.
Теперь заложим в ряд эту функцию:

$$ \frac{1}{1-z}G(z) = \frac{z}{(1-z)(1-z)^2}=\frac{1}{1-z}+\frac1{(1-2z)^2}-\frac{2}{1-2z}=\sum_{n=0}^{\infty} (1+(n+1)\cdot 2^{n}-2\cdot2^{n})z^n. $$

Ответ - коэффициент при $z^n$. Он равен Вашему $2^n\cdot(n-1)+1$.

Проблема только в том, что все эти красивые методы хороши, пока примеры учебные. Но их ведь проще считать в Maple, он эти суммы легко сворачивает.

[Коровьев]

Простейшие примеры можно решить не прибегая к теории конечных разностей.
Так при суммировании ряда $\sum\limits_{k = 1}^n {kx^{k - 1} }$ нетрудно заметить, что каждый k-тый член есть производная ${x^k }$. Тогда
$\sum\limits_{k = 1}^n {kx^{k - 1} } = \sum\limits_{k = 1}^n {(x^k )'} $= $\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {x^k } } \right)^' $= $\left( {\frac{{x - x^{n + 1} }}{{1 - x}}} \right)^' $= $\frac{{nx^{n + 1} - (n + 1)x^n + 1}}{{(1 - x)^2 }}$
При $x=2$ и получается приведённая автором формула.
Второй пример сложнее, но не более.
$k^2 x^{k - 1} = k(k + 1)x^{k - 1} - kx^{k - 1} = (x^{k + 1} )'' - (x^k )'$
$ \sum\limits_{k = 1}^n {k^2 x^{k - 1} } = \left( {\sum\limits_{k = 1}^n {x^{k + 1} } } \right)^{''} - \left( {\sum\limits_{k = 1}^n {x^k } } \right)^' $= и т.д.

// 24.06.10 перемещено из раздела «Дискуссионные темы (М)» в «Помогите решить / разобраться (М)». / GAA