единственность решений ОДУ

[terminator-II]

Рассмотрим систему

$$\dot x=f(y),\quad \dot y=g(x),\qquad f,g\in C(\mathbb{R}).$$

Гипотеза. Мера множества точек $(x,y)\in \mathbb{R}^2$, через которые проходит более одного решения данной системы, равна нулю.

The rational comments are welcomed

[Padawan]

Напрашивается записать уравнение в виде $f(y)dy=g(x)dx$, или $F(y)=G(x)+C$ ($F'(y)=f(y), G'(x)=g(x)$). Значит, через те точки $(x_0,y_0)$, где $f^2(y_0)+g^2(x_0)\neq 0$ проходит только одна интегральная кривая (по теореме о неявной функции). Значит, нарушение единственности надо искать среди точек, где $f(y_0)=0$, $g(x_0)=0$. Надо как-то из $F(y)=G(x)+C$ исходить.

[terminator-II]

Теперь такое сообщение.

Рассмотрим задачу Коши

$$u_t(t,x)=f(u(t,x)),\quad u(0,x)=x,\qquad x\in \mathbb{R}^m,\quad t\ge 0,\quad f(x)=(f_1,\ldots,f_m)(x)\in C(\mathbb{R}^m).$$

Теорема. Существует решение $u(t,x)$, которое непрерывно по $x$ на множестве второй категории в $\mathbb{R}^m$.

[Padawan]

А по первой задаче будет ответ? Или хотя-бы сообщение? Мне кажется, что может быть мера положительной.

[terminator-II]

По первой задаче не знаю. Уже не знаю.

-- Sun Jun 20, 2010 21:56:09 --

Padawan в сообщении #333247 писал(а):

А по первой задаче будет ответ? Или хотя-бы сообщение? Мне кажется, что может быть мера положительной.

я думаю, что если Вы это докажите в каком-либо примере, то это будет очень цитируемая статья.