2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 единственность решений ОДУ
Сообщение19.06.2010, 16:35 
Рассмотрим систему
$$\dot x=f(y),\quad \dot y=g(x),\qquad f,g\in C(\mathbb{R}).$$
Гипотеза. Мера множества точек $(x,y)\in \mathbb{R}^2$, через которые проходит более одного решения данной системы, равна нулю.

The rational comments are welcomed :D

 
 
 
 Re: единственность решений ОДУ
Сообщение19.06.2010, 17:33 
Напрашивается записать уравнение в виде $f(y)dy=g(x)dx$, или $F(y)=G(x)+C$ ($F'(y)=f(y), G'(x)=g(x)$). Значит, через те точки $(x_0,y_0)$, где $f^2(y_0)+g^2(x_0)\neq 0$ проходит только одна интегральная кривая (по теореме о неявной функции). Значит, нарушение единственности надо искать среди точек, где $f(y_0)=0$, $g(x_0)=0$. Надо как-то из $F(y)=G(x)+C$ исходить.

 
 
 
 Re: единственность решений ОДУ
Сообщение20.06.2010, 19:27 
Теперь такое сообщение.

Рассмотрим задачу Коши
$$u_t(t,x)=f(u(t,x)),\quad u(0,x)=x,\qquad x\in \mathbb{R}^m,\quad t\ge 0,\quad f(x)=(f_1,\ldots,f_m)(x)\in C(\mathbb{R}^m).$$

Теорема. Существует решение $u(t,x)$, которое непрерывно по $x$ на множестве второй категории в $\mathbb{R}^m$.

 
 
 
 Re: единственность решений ОДУ
Сообщение20.06.2010, 20:35 
А по первой задаче будет ответ? Или хотя-бы сообщение? Мне кажется, что может быть мера положительной.

 
 
 
 Re: единственность решений ОДУ
Сообщение20.06.2010, 20:45 
По первой задаче не знаю. Уже не знаю.

-- Sun Jun 20, 2010 21:56:09 --

Padawan в сообщении #333247 писал(а):
А по первой задаче будет ответ? Или хотя-бы сообщение? Мне кажется, что может быть мера положительной.

я думаю, что если Вы это докажите в каком-либо примере, то это будет очень цитируемая статья.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group