Неравенство, содержащее корни из чисел

[Sonic86]

venco писал(а):

Почти всё правильно, только в конце $\frac{99}{100}<(1+\frac{2}{3})^{\frac{1}{8}}$, что не разрушает доказательство.

А, блин, действительно, спасибо!
Просто, чтобы было $e$, надо чтобы было выражение $(1+\frac{p}{q})^\frac{q}{p}$, при этом $\frac{p}{q}$ должно быть мало, поэтому почти сразу описание будет сложным... Я из-за этого тоже сначала не дорешал.
А как детям объяснять если что ?

[venco]

Sonic86 в сообщении #331321 писал(а):

Дальше можно так:

$$\Leftrightarrow \left(1+\frac{73}{1250} \right)^9 < \frac{5}{3} \Leftrightarrow \left(1+\frac{73}{1250} \right)^{\frac{1250}{73}} < \left( \frac{5}{3} \right)^{\frac{1250}{587}}$$

Опаньки, а ведь в конце должно получиться $\left( \frac{5}{3} \right)^{\frac{1250}{657}}$

[Sonic86]

venco писал(а):

Опаньки, а ведь в конце должно получиться $\left( \frac{5}{3} \right)^{\frac{1250}{657}}$

Да, значит у меня ничего не проходит тогда

[vmg]

Тогда про первое неравенство:
$\sqrt[8]{5}\sqrt[3]{35}>4\Leftrightarrow5^{11}\cdot7^8>2^{48}\Leftrightarrow5^{12}\cdot7^8>2^{50}+2^{48}\Leftrightarrow$
$5^{12}\cdot7^8+2^{44}>2^{44}\cdot81\Leftrightarrow \left(5^3\cdot7^2\right)^4+\left(2^{11}\right)^4>\left(3\cdot2^{11}\right)^4$
Вычисления: $3\cdot2^{11}=6144$;$5^3\cdot7^2=6125$
Обозначим $x=6125$. Докажем $81x^4>80(x+19)^4 (1)$.
Неравенство $\left(1+\frac{1}{80}\right)>\left(1+\frac{19}{x}\right)^4$ возведем в степень $\frac{161}{2}$:
$\left(1+\frac{1}{80}\right)^{80+\frac12}>\left(1+\frac{19}{x}\right)^{322}$. Последнее неравенство справедливо, т.к.
$\left(1+\frac{1}{80}\right)^{80+\frac12}>e>\left(1+\frac{19}{x}\right)^{\frac{x}{19}}>\left(1+\frac{19}{x}\right)^{322}$.
Впрочем, (1) можно доказать и без $e$.

[Droog_Andrey]

vmg в сообщении #330921 писал(а):

$\sqrt[9]{0,6}\sqrt[28]{4,9}<1\Leftrightarrow\sqrt[28]{\frac{49}{10}}<\sqrt[9]{\frac53}\Leftrightarrow$$\left(\frac{49}{10}\right)^9<\left(\frac53\right)^{28}\Leftrightarrow\left(\frac{49\cdot27}{10\cdot125}\right)^9<\frac53$.
В скобках конечная десятичная дробь (=1,0548). Можно возвести в 9 степень (4 умножения), шестой знак после запятой будет 5, а не 6, как справа.

Только дробь равна $1.0584$, а не $1.0548$.

vmg в сообщении #332983 писал(а):

Тогда про первое неравенство:
$\sqrt[8]{5}\sqrt[3]{35}>4\Leftrightarrow5^{11}\cdot7^8>2^{48}\Leftrightarrow5^{12}\cdot7^8>2^{50}+2^{48}\Leftrightarrow$
$5^{12}\cdot7^8+2^{44}>2^{44}\cdot81\Leftrightarrow \left(5^3\cdot7^2\right)^4+\left(2^{11}\right)^4>\left(3\cdot2^{11}\right)^4$
Вычисления: $3\cdot2^{11}=6144$;$5^3\cdot7^2=6125$
Обозначим $x=6125$. Докажем $81x^4>80(x+19)^4 (1)$.

Это решение красиво демонстрирует связь с рационализацией среднетонового музыкального строя:
http://en.wikipedia.org/wiki/Quarter-comma_meantone

[Droog_Andrey]

Кстати, раз уж пошла такая "пьянка" с числом $e$, то, быть может, удастся и это неравенство доказать:

$\sqrt[12]{2}\sqrt[7]{5} < \frac43$

[vmg]

$\Leftrightarrow2^{7}5^{12}<\left(\frac{4}{3}\right)^{84}\Leftrightarrow$
$3^{84}5^{12}<2^{161}\Leftrightarrow\left(\frac{3^{7}5}{2^{13}}\right)^{12}<2^5$.
Далее $\left(\left(1+\frac{1743}{8192}\right)^{\frac{8192}{1743}}\right)^{\frac{5229}{2048}$$<e^{\frac{5229}{2048}$$<2^5$,
так как $\frac{5229}{2048}<\frac{35}{12}<5\ln2$.

[venco]

vmg в сообщении #342707 писал(а):

Далее $\left(\left(1+\frac{1743}{8192}\right)^{\frac{8192}{1743}}\right)^{\frac{5229}{2048}$

Ошибка, должно быть 2743.

[venco]

vmg в сообщении #332983 писал(а):

$\left(5^3\cdot7^2\right)^4+\left(2^{11}\right)^4>\left(3\cdot2^{11}\right)^4$
Вычисления: $3\cdot2^{11}=6144$;$5^3\cdot7^2=6125$
Обозначим $x=6125$. Докажем $81x^4>80(x+19)^4 (1)$.

Хорошо, (1) доказали. Как теперь перейти к предыдущему неравенству?

[vmg]

1). $x^4+\left(\frac{x+19}{3}\right)^4$$>(x+19)^4$.
2). Да, ошибка, прошу прощения. Спасибо, что указали.

[venco]

vmg в сообщении #343377 писал(а):

1). $x^4+\left(\frac{x+19}{3}\right)^4$$>(x+19)^4$.

Пока я не вижу, как к этому прийти от доказанного Вами $81x^4>80(x+19)^4$

[vmg]

$81(6125)^{4}+(6144)^{4}>81(6144)^{4}$.

[venco]

Ок, правильно.

[vmg]

$3^{84}5^{12}<2^{161}\Leftrightarrow$
$\left(\frac{3^{8}5}{2^{15}}\right)^{11}<\frac{3^4}{2^{4}5}\Leftrightarrow$
$\left(1+\frac{37}{32768}\right)^{11}<\left(1+\frac{1}{80}\right)$
Возведем обе части неравенства в степень $80+\frac{1}{2}=\frac{161}{2}$
Тогда правая часть $\left(1+\frac{1}{80}\right)^{\frac{161}{2}}>e$,
а левая часть -- меньше $e$, так как это
$\left(1+\frac{37}{32768}\right)^{\frac{32768}{37}}$ в степени меньше 1:
$\frac{37}{32768}\cdot\frac{11\cdot161}{2}=\frac{65527}{65536}$.

[Droog_Andrey]

Давненько не пополнял коллекцию...

$19\sqrt{\sqrt{9,1}}>33$