изоморфизмы, нестандартные задачи

[vester]

Здравствуйте! у меня 2 задачи про изоморфизм.



читал разные методичики, есть наработки по решениям, но всё зашло в тупик, помогите разобраться

1 задача.

вроде бы разобрался со структурой данных групп.
( группа автоморфизмов = группа возможных отображений группы в неё же. )
В обеих группах бесконечное число элементов, значит изоморфизм может существовать.

Основная идея такая:
пусть f(a1, a2) = (a1*15, a2*15) функция изоморфизма, только её нужно применить к каждой паре из отображения/
есть отображение из a1 в a2, (a1, a2) - элемент первой группы.
Свойство изоморфизма выполняется, f(a1 + b1, a2 + b2) = f(a1, a2) + f(b1, b2), тождественное отображение переходит в тождественное..

в чём ошибка \ неточность? или как правильно построить изоморфизм?

2 задача.
разобрался со структурой данных групп.
нашёл центр первой группы:
пермножил две матрицы в прямом и обратном порядке; как и ожидалось, центр - скалярные матрицы.

GL2(Z/3Z) состоит из квадратных матриц 2x2, заполненных числами 0,1,2; при этом их определитель равен +1 или -1 для обратимости.
операции выполняются по модулю 3.

затем я написал небольшую программку, определил количество таких матриц - 24 штуки.

Где-то видел формулу для количества элементов группы GLn(Fm), что-то вроде:
N = 1/(m-1) * (m^n - m)* ... * (m - 1)


по ней количество элементов тоже получилось 24.
к сожалению уже потерял ссылку, и не знаю как доказать(

Затем я посмотрел на S4: это группа перестановок, количество элементов 4! = 24.

Значит изоморфизм может существовать.

в итоге я вижу некое соотношение между тождественной перестановкой и единичной матрицей,
обратной перестановкой и матрицей вращения...

произведение матриц и перестановок тоже чем-то похоже

как связать всё воедино?

[id]

Цитата:

группа автоморфизмов = группа возможных отображений группы в неё же.

Автоморфизм - это все-таки изоморфизм группы на себя.

[vester]

id в сообщении #332853 писал(а):

Цитата:

группа автоморфизмов = группа возможных отображений группы в неё же.

Автоморфизм - это все-таки изоморфизм группы на себя.

здесь группа автоморфизмов, значит группа "изоморфизмов группы на себя", как я и написал группа возможных отображений

[Mathusic]

vester в сообщении #332856 писал(а):

здесь группа автоморфизмов, значит группа "изоморфизмов группы на себя", как я и написал группа возможных отображений

Это не одно и тоже.

[id]

И, на всякий случай, распишите все-таки подробнее, как Вы понимаете $\mathrm{Aut} \mathbb Z / 30 \mathbb Z$ и $\mathrm{Aut} \mathbb Z / 15 \mathbb Z$. Это ведь то же самое, что группа автоморфизмов группы $\mathbb Z / 30 \mathbb Z$ и группа автоморфизмов группы $\mathbb Z / 15 \mathbb Z$ соответственно, не так ли?

[vester]

id в сообщении #332865 писал(а):

И, на всякий случай, распишите все-таки подробнее, как Вы понимаете $\mathrm{Aut} \mathbb Z / 30 \mathbb Z$ и $\mathrm{Aut} \mathbb Z / 15 \mathbb Z$. Это ведь то же самое, что группа автоморфизмов группы $\mathbb Z / 30 \mathbb Z$ и группа автоморфизмов группы $\mathbb Z / 15 \mathbb Z$ соответственно, не так ли?

хм. я рассуждал, как у вас указано, со скобочками, да..

как вижу данную ситуацию:

есть группа Z/30Z ~ остатки от деления на 30, от 0 до 29.
возможный автоморфизм - соответствие каждому остатку другого остатка, при этом все они в группе Z/30Z.

$\mathrm{Aut} (\mathbb Z / 30 \mathbb Z)$ - это группа всех возможных отображений, каждое из которых включает фиксированное отображение для каждого остатка.

Нулевой элемент - тождественный автоморфизм, т.е. 0 - > 0, ... , 29 - > 29.

аналогично для второй группы

[ИСН]

Осталось выяснить, какие элементы могут переходить в какие при изоморфизме. "Единица", например - только в себя...

[Padawan]

ИСН в сообщении #332878 писал(а):

Осталось выяснить, какие элементы могут переходить в какие при изоморфизме. "Единица", например - только в себя...

А почему? Вроде и в $29$ тоже может. Изоморфизм $f(x)=-x \mod 30$. Или "единица" в смысле $0$

[ИСН]

"Единица" в смысле 0, отсюда кавычки.

[vester]

про переход элементов внтури группы боле-менее понятно..
а как быть с изоморфизмом между группами автоморфизмов?

[id]

Как раз не совсем. $\mathrm{Aut} \mathbb Z / n \mathbb Z$ имеет вполне определенный и хорошо известный вид. Причём как только он станет ясен, станет ясен и изоморфизм между группами автоморфизмов.

Пусть $\varphi$ - автоморфизм $\mathbb Z_n$ и $\varphi([1]) = [k]$. Тогда $\varphi([l]) = \varphi([1]) + \dots + \varphi([1]) = [k][l]$.
Т.о. любой автоморфизм имеет вид $\varphi_a:=ax$.
Обратно, если $\varphi_a$ данный автоморфизм, то для него есть обратный автоморфизм $\varphi_b: \varphi_b \circ \varphi_a = bax = x$. Отсюда следует, что элементы $a,b$ должны быть ... ?

[vester]

id в сообщении #332895 писал(а):

Как раз не совсем. $\mathrm{Aut} \mathbb Z / n \mathbb Z$ имеет вполне определенный и хорошо известный вид. Причём как только он станет ясен, станет ясен и изоморфизм между группами автоморфизмов.

Пусть $\varphi$ - автоморфизм $\mathbb Z_n$ и $\varphi([1]) = [k]$. Тогда $\varphi([l]) = \varphi([1]) + \dots + \varphi([1]) = [k][l]$.
Т.о. любой автоморфизм имеет вид $\varphi_a:=ax$.
Обратно, если $\varphi_a$ данный автоморфизм, то для него есть обратный автоморфизм $\varphi_b: \varphi_b \circ \varphi_a = bax = x$. Отсюда следует, что элементы $a,b$ должны быть ... ?

...обратными a = b^{-1}.

но у нас же не группы чисел, а группы автоморфизмов. как сопоставить автоморфизмы?
просто преобразование для каждого элемента пары?

если я что-то путаю, извините..

[id]

vester
Получается ведь, что $a,b$ - это обратимые элементы $\mathbb Z / n \mathbb Z$.

Т.е. $\mathrm{Aut} \mathbb Z / n \mathbb Z$ изоморфно группе обратимых элементов $\mathbb Z / n \mathbb Z$ (по умножению).

И возникает вопрос - а как устроена группа обратимых элементов в $\mathbb Z / n \mathbb Z$?

[vester]

id в сообщении #332910 писал(а):

vester
Получается ведь, что $a,b$ - это обратимые элементы $\mathbb Z / n \mathbb Z$.

Т.е. $\mathrm{Aut} \mathbb Z / n \mathbb Z$ изоморфно группе обратимых элементов $\mathbb Z / n \mathbb Z$ (по умножению).

И возникает вопрос - а как устроена группа обратимых элементов в $\mathbb Z / n \mathbb Z$?

хм.. это все элементы, кроме 0.

т.е. у нас есть группа $\mathrm{Aut} \mathbb Z / 30 \mathbb Z$ без 0
и $\mathrm{Aut} \mathbb 15 / n \mathbb Z$ тоже без 0...

Думаете, можно доказать изоморфизм через изоморфизм каждой группы?

[id]

vester
Обратимые элементы (по умножению, если что ) в $\mathbb Z / n \mathbb Z$ - это не все элементы кроме нуля, в общем случае. Если $n$ простое - то да, $\mathbb Z_n$ будет полем. А если нет - то нет.