Неограниченное решение дифф. уравнения

[passs]

Доказать, что существует решение уравнения $y''shx+y=0$, не ограниченное на интервале $(1, +\infty)$.

[terminator-II]

Уравнение надо переписать в виде $y''+\sh^{-1}(x)y=0$; $\sh^{-1}(x)=2\sum_{k=0}^\infty e^{-(2k+1)x}$.
Одно решение этого уравнения ищется ввиде ряда $y(x)=\sum_{k=1}^\infty y_ke^{-kx}$. Втрое , как обычно, -- по теореме Лиувилля. Если Вы правы, то второе ршение окажется неограниченным.
И еще: рассуждайте асимптотически: $\frac{1}{\sh x}\sim 2e^{-x}$ при $x\to+\infty$;

зы У меня получается, что действительно это второе решение неограничено.

[terminator-II]

Поправка.
Написано
$y(x)=\sum_{k=1}^\infty y_ke^{-kx}$
Должно быть
$y(x)=\sum_{k=0}^\infty y_ke^{-kx}$

[mihiv]

Предположим $y_1(x),y_2(x)$ два линейно независимых решения уравнения

$$y''+\sh^{-1}(x)y=0\qquad (1)$$

Подставим в ур-ие (1) $y_1(x)$ а затем $y_2(x)$,умножим ур-ие с $y_1(x)$ на $y_2(x)$,а ур-ие с $y_2(x)$-на $y_1(x)$,вычтем полученные ур-ия,тогда:

$$(y_1'y_2-y_1y_2')'=0$$

или

$$y_1'y_2-y_1y_2'=C\qquad (2)$$

Постоянная $C\ne 0$,т.к. в левой части равенства (2) определитель Вронского из линейно независимых функций $y_1,y_2$.
Если предположить,что обе функции $y_1$ и $y_2$ ограничены,то из этого предположения и ур-ия (1) следует,что $y'_1(x),y'_2(x)\to 0$ при $x\to \infty $,что противоречит равенству (2).

[terminator-II]

mihiv в сообщении #332434 писал(а):

Если предположить,что обе функции $y_1$ и $y_2$ ограничены,то из этого предположения и ур-ия (1) следует,что $y'_1(x),y'_2(x)\to 0$ при $x\to \infty $

а можно поподробней

[mihiv]

Нужно рассмотреть две возможности: 1.На любом интервале $(x,\infty )$ есть нули функции $y_i(x),i=1,2$ 2.Начиная с некоторого $x_0$ на интервале $(x_0,\infty )$ нет нулей функций $y_i(x)$.
В первом случае на любом интервале есть и нули производной,поэтому можно проинтегрировать уравнение (1) от $x$ до $x_n$,где $x_n>x$ нуль $y'_i$,тогда получим $-y'_i(x)=-\int \limits _x^{x_n}\frac {y_i(t)dt}{\sh (t)}\qquad (A)$Если $|y_i(x)|<C_i$,то из (A) получим:$|y'_i(x)|<C_i\ln \frac {\th (\frac {x_n}2)}{\th(\frac x2)}\to 0$ при $x\to \infty $
Во втором случае функция $y_i(x)$ сохраняет знак на интервале $(x_0,\infty )$,пусть,например, $y_i>0$,из уравнения (1) видим,что она выпуклая вверх.Ясно,что обеспечить ограниченность,выпуклость и отсутствие нулей можно только если она монотонно стремится к постоянной при $x\to \infty $,ее производная при этом монотонно убывая стремится к 0.Поэтому здесь также получаем противоречие с равенством (2)

[terminator-II]

а я то уж думал, что это существенно проще моего решения