2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Неограниченное решение дифф. уравнения
Сообщение14.06.2010, 22:35 
Доказать, что существует решение уравнения $y''shx+y=0$, не ограниченное на интервале $(1, +\infty)$.

 
 
 
 Re: Неограниченное решение дифф. уравнения
Сообщение15.06.2010, 17:19 
Уравнение надо переписать в виде $y''+\sh^{-1}(x)y=0$; $\sh^{-1}(x)=2\sum_{k=0}^\infty e^{-(2k+1)x}$.
Одно решение этого уравнения ищется ввиде ряда $y(x)=\sum_{k=1}^\infty y_ke^{-kx}$. Втрое , как обычно, -- по теореме Лиувилля. Если Вы правы, то второе ршение окажется неограниченным.
И еще: рассуждайте асимптотически: $\frac{1}{\sh x}\sim 2e^{-x}$ при $x\to+\infty$;

зы У меня получается, что действительно это второе решение неограничено.

 
 
 
 Re: Неограниченное решение дифф. уравнения
Сообщение15.06.2010, 19:10 
Поправка.
Написано
$y(x)=\sum_{k=1}^\infty y_ke^{-kx}$
Должно быть
$y(x)=\sum_{k=0}^\infty y_ke^{-kx}$
:D

 
 
 
 Re: Неограниченное решение дифф. уравнения
Сообщение18.06.2010, 12:18 
Предположим $y_1(x),y_2(x)$ два линейно независимых решения уравнения $$y''+\sh^{-1}(x)y=0\qquad (1)$$Подставим в ур-ие (1) $y_1(x)$ а затем $y_2(x)$,умножим ур-ие с $y_1(x)$ на $y_2(x)$,а ур-ие с $y_2(x)$-на $y_1(x)$,вычтем полученные ур-ия,тогда:$$(y_1'y_2-y_1y_2')'=0$$или $$y_1'y_2-y_1y_2'=C\qquad (2)$$Постоянная $C\ne 0$,т.к. в левой части равенства (2) определитель Вронского из линейно независимых функций $y_1,y_2$.
Если предположить,что обе функции $y_1$ и $y_2$ ограничены,то из этого предположения и ур-ия (1) следует,что $y'_1(x),y'_2(x)\to 0$ при $x\to \infty $,что противоречит равенству (2).

 
 
 
 Re: Неограниченное решение дифф. уравнения
Сообщение18.06.2010, 21:22 
mihiv в сообщении #332434 писал(а):
Если предположить,что обе функции $y_1$ и $y_2$ ограничены,то из этого предположения и ур-ия (1) следует,что $y'_1(x),y'_2(x)\to 0$ при $x\to \infty $

а можно поподробней

 
 
 
 Re: Неограниченное решение дифф. уравнения
Сообщение18.06.2010, 22:42 
Нужно рассмотреть две возможности: 1.На любом интервале $(x,\infty )$ есть нули функции $y_i(x),i=1,2$ 2.Начиная с некоторого $x_0$ на интервале $(x_0,\infty )$ нет нулей функций $y_i(x)$.
В первом случае на любом интервале есть и нули производной,поэтому можно проинтегрировать уравнение (1) от $x$ до $x_n$,где $x_n>x$ нуль $y'_i$,тогда получим $-y'_i(x)=-\int \limits _x^{x_n}\frac {y_i(t)dt}{\sh (t)}\qquad (A)$Если $|y_i(x)|<C_i$,то из (A) получим:$|y'_i(x)|<C_i\ln \frac {\th (\frac {x_n}2)}{\th(\frac x2)}\to 0$ при $x\to \infty $
Во втором случае функция $y_i(x)$ сохраняет знак на интервале $(x_0,\infty )$,пусть,например, $y_i>0$,из уравнения (1) видим,что она выпуклая вверх.Ясно,что обеспечить ограниченность,выпуклость и отсутствие нулей можно только если она монотонно стремится к постоянной при $x\to \infty $,ее производная при этом монотонно убывая стремится к 0.Поэтому здесь также получаем противоречие с равенством (2)

 
 
 
 Re: Неограниченное решение дифф. уравнения
Сообщение18.06.2010, 23:08 
а я то уж думал, что это существенно проще моего решения :D

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group