доказать связность пространства без счетного числа прямых

[Kasky]

Доказать, что если из пространства $R^3$ выбросить счетное множество прямых, то оставшееся множество будет связным.

[ewert]

Докажите, что через любые две точки можно провести хотя бы одну плоскость, в которой не лежит целиком ни одна линия. Тем самым задача сведётся к двумерной.

[Kasky]

А что если рассмотреть сферу (произвольного радиуса) в $R^3$ и на ней выделить две диаметрально расположенные точки, по идее множество соединяющее эти две точки, то есть множество меридеан будет континуум, а значит, что $R^3$ без счетного множества прямых будет связно.. Так можно???

[Хорхе]

А зачем проводить плоскость? Проведите сферу, в ней уж точно прямая целиком не лежит!

(опередили)

-- Чт июн 17, 2010 14:33:26 --

Kasky в сообщении #332151 писал(а):

А что если рассмотреть сферу (произвольного радиуса) в $R^3$ и на ней выделить две диаметрально расположенные точки, по идее множество соединяющее эти две точки, то есть множество меридеан будет континуум, а значит, что $R^3$ без счетного множества прямых будет связно.. Так можно???

Именно так.

[Kasky]

Так вот вся проблема в том, что до этого то как бы я дошел, но вот дальше.. Я более конкретно все рассписывал, с применением теорем, но преподователь говорит, что это все равно не доказательство. Не подскажете, что именно в данном случае необходимо доказать??? Линейную связность меридианы??? Или еще чего???

[ewert]

Kasky в сообщении #332156 писал(а):

Я более конкретно все рассписывал, с применением теорем, но преподователь говорит, что это все равно не доказательство.

Да теоремы тут вроде бы никакие и не нужны; возможно, просто недостаточно подробно.

Тут ключевые моменты (раз уж с помощью сферы):

1) что множество точек пересечения прямых со сферой не более чем счётно;

2) что существует континуум плоскостей, проходящих через две диаметрально противоположные точки -- а значит, и континуум окружностей, по которым они пересекаются со сферой;

3) что, следовательно, хоть одна из окружностей не проходит ни через одну из выколотых точек (иначе множество окружностей было бы счётным) -- дуга этой окружности и связывает те две точки.

А угадать, какую конкретно ловлю блох хотел бы вдобавок к этому увидеть конкретный преподаватель -- трудно.

[Padawan]

Не, тут надо заранее взять две точки, не входящие в объединение прямых, и показать, что каждая прямая пересекает не более двух меридианов.

[ewert]

Так это одно и то же.

[id]

А решение с (гипер)плоскостями вроде бы проще переносится на общий случай $\mathbb R^n$ и счетного набора $n-2$-мерных аффинных подпространств в нем.

[мат-ламер]

Простите, может я не так условие понял. Расмотрим в $R^3$ множество точек, у которых первые две координаты иррациональны. Оно что, будет связным?

[Padawan]

мат-ламер
Нет, не будет. Но его дополненние не является объединением прямых.

[мат-ламер]

Цитата:

Но его дополненние не является объединением прямых.

Его дополнение - счётное множество вертикальных прямых, у которых первые две координаты (не меняющиеся для данной прямой) - рациональны.

[Padawan]

Не (первые две координаты иррациональны)=хотя бы одна из координат рациональна$\neq$ обе координаты рациональны

[мат-ламер]

Спасибо, уже сообразил, пока писал и Вы ответили.

-- Чт июн 17, 2010 21:47:17 --

А плоскость без рациональных точек связна?

[ИСН]

Естественно.