2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 доказать связность пространства без счетного числа прямых
Сообщение17.06.2010, 12:26 
Доказать, что если из пространства $R^3$ выбросить счетное множество прямых, то оставшееся множество будет связным.

 
 
 
 Re: доказать связность
Сообщение17.06.2010, 13:11 
Докажите, что через любые две точки можно провести хотя бы одну плоскость, в которой не лежит целиком ни одна линия. Тем самым задача сведётся к двумерной.

 
 
 
 Re: доказать связность
Сообщение17.06.2010, 13:31 
А что если рассмотреть сферу (произвольного радиуса) в $R^3$ и на ней выделить две диаметрально расположенные точки, по идее множество соединяющее эти две точки, то есть множество меридеан будет континуум, а значит, что $R^3$ без счетного множества прямых будет связно.. Так можно???

 
 
 
 Re: доказать связность
Сообщение17.06.2010, 13:32 
Аватара пользователя
А зачем проводить плоскость? Проведите сферу, в ней уж точно прямая целиком не лежит!

(опередили)

-- Чт июн 17, 2010 14:33:26 --

Kasky в сообщении #332151 писал(а):
А что если рассмотреть сферу (произвольного радиуса) в $R^3$ и на ней выделить две диаметрально расположенные точки, по идее множество соединяющее эти две точки, то есть множество меридеан будет континуум, а значит, что $R^3$ без счетного множества прямых будет связно.. Так можно???

Именно так.

 
 
 
 Re: доказать связность
Сообщение17.06.2010, 13:36 
Так вот вся проблема в том, что до этого то как бы я дошел, но вот дальше.. Я более конкретно все рассписывал, с применением теорем, но преподователь говорит, что это все равно не доказательство. Не подскажете, что именно в данном случае необходимо доказать??? Линейную связность меридианы??? Или еще чего???

 
 
 
 Re: доказать связность
Сообщение17.06.2010, 13:51 
Kasky в сообщении #332156 писал(а):
Я более конкретно все рассписывал, с применением теорем, но преподователь говорит, что это все равно не доказательство.

Да теоремы тут вроде бы никакие и не нужны; возможно, просто недостаточно подробно.

Тут ключевые моменты (раз уж с помощью сферы):

1) что множество точек пересечения прямых со сферой не более чем счётно;

2) что существует континуум плоскостей, проходящих через две диаметрально противоположные точки -- а значит, и континуум окружностей, по которым они пересекаются со сферой;

3) что, следовательно, хоть одна из окружностей не проходит ни через одну из выколотых точек (иначе множество окружностей было бы счётным) -- дуга этой окружности и связывает те две точки.

А угадать, какую конкретно ловлю блох хотел бы вдобавок к этому увидеть конкретный преподаватель -- трудно.

 
 
 
 Re: доказать связность
Сообщение17.06.2010, 13:54 
Не, тут надо заранее взять две точки, не входящие в объединение прямых, и показать, что каждая прямая пересекает не более двух меридианов.

 
 
 
 Re: доказать связность
Сообщение17.06.2010, 13:57 
Так это одно и то же.

 
 
 
 Re: доказать связность
Сообщение17.06.2010, 20:02 
А решение с (гипер)плоскостями вроде бы проще переносится на общий случай $\mathbb R^n$ и счетного набора $n-2$-мерных аффинных подпространств в нем.

 
 
 
 Re: доказать связность
Сообщение17.06.2010, 20:31 
Аватара пользователя
Простите, может я не так условие понял. Расмотрим в $R^3$ множество точек, у которых первые две координаты иррациональны. Оно что, будет связным?

 
 
 
 Re: доказать связность
Сообщение17.06.2010, 20:33 
мат-ламер
Нет, не будет. Но его дополненние не является объединением прямых.

 
 
 
 Re: доказать связность
Сообщение17.06.2010, 20:39 
Аватара пользователя
Цитата:
Но его дополненние не является объединением прямых.
Его дополнение - счётное множество вертикальных прямых, у которых первые две координаты (не меняющиеся для данной прямой) - рациональны.

 
 
 
 Re: доказать связность
Сообщение17.06.2010, 20:41 
Не (первые две координаты иррациональны)=хотя бы одна из координат рациональна$\neq$ обе координаты рациональны

 
 
 
 Re: доказать связность
Сообщение17.06.2010, 20:43 
Аватара пользователя
Спасибо, уже сообразил, пока писал и Вы ответили.

-- Чт июн 17, 2010 21:47:17 --

А плоскость без рациональных точек связна?

 
 
 
 Re: доказать связность
Сообщение17.06.2010, 20:54 
Аватара пользователя
Естественно.

 
 
 [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group