Геометрия:"обвивка" окружностей

[Genrih]

Верно ли, что сумма длин дуг, которые покрывает замкнутая нить, обтягивая все окружности одинакового радиуса, равна $2\pi r$ (т.е. длина всей окружности)?
К примеру, как на рисунке. Количество окружностей произвольно.

[Юстас]

Ну пусть в какой-то начальной точке задан вектор. При параллельном переносе вдоль нашей кривой он повернется на $2\pi$ за полный обход. В то же время, на прямолинейных участках направление вектора не меняется. Отсюда следует, что сумма длин дуг есть $2\pi$.

[Brukvalub]

Юстас писал(а):

Ну пусть в какой-то начальной точке задан вектор. При параллельном переносе вдоль нашей кривой он повернется на $2\pi$ за полный обход. В то же время, на прямолинейных участках направление вектора не меняется. Отсюда следует, что сумма длин дуг есть $2\pi$.

И, все-таки, эта сумма равна $2\pi r$где r - общий радиус всех окружностей.

[Юстас]

Да, если говорим о дугах - конечно же $2\pi r$

[незваный гость]

Если только многоугольник выпуклый (представьте себе «расческу», с внешним и внутренним расположением блоков).

[Genrih]

Да, так и есть. А насчет выпуклости забыл уточнить.