Доказать, что число составное...

[Marina]

Помогите, пожалуйста, доказать. что при любом простом $p>3$ число $10p^2-3p+2$ составное.

[ИСН]

Ну, оно очевидным образом делится на...

[mitia87]

Покажите, что это число делится на ....

[TOTAL]

Сначала покажите, что любое простое число $p>3$ не делится на $3.$

[lim0n]

Вопрос: $(p-2)(p-1)+9p^2$ в правильном направлении?

[ИСН]

Если Вас зовут Marina, то, может быть, да - хотя я держал в уме иной путь, но так даже лучше.

[Батороев]

(Оффтоп)

Используя неучебный метод...

Зная, что при простых $p>3$ либо $p-1$, либо $p+1$ делятся на $3$,
рассматриваем число в $p$-чной системе счисления.
Используя признаки делимости
на $p-1$: $10-3+2=9\equiv 0 \pmod 3 $
и на $p+1$: $ 10+3+2=15\equiv 0 \pmod 3 $,
убеждаемся, что в обоих случаях число делится на $3$.

[Mathusic]

$=10(p-1)(p+1)+(12-3p) \equiv 0 \pmod 3.$

[Marina]

Можно ли привести такое доказательство: $10p^2-3p+2=(p-1)(p-2)+9p^2$.
Если произведение двух последовательных чисел $(p-1)(p-2)$ делится на $2$, а $9p^2$ делится на 3. То сумма двух составных чисел, так же число составное при любом простом $p>3$ ?

[lim0n]

Marina в сообщении #332083 писал(а):

Можно ли привести такое доказательство: ...

Это неверно. Попробуйте посмотреть на последовательность чисел $(p-2), (p-1), p$, где простое (т.е. не кратное ...) $p>3$.

[Marina]

lim0n, извините, но я Вас не поняла.
Что нам даёт последовательность чисел: 3,4,5 или 5,6,7?

[ИСН]

Я тоже не понял, поэтому бог с ним, оставим это, а сказать хочу о другом: к примеру, 20 - составное число? 9 - составное число? Сумма двух составных...

[Marina]

Значит мои выводы не верны.

(Оффтоп)

P.S. Хотя при каких значениях $p>3$, Вы получили 29?

[AKM]

А я вот не поленился, и реально последовал совету от lim0n. В тетрадочке у меня их гораздо больше, чем я выписал сюда:

$$\begin{array}{ccr} p-2 & p-1 & \qquad (p)\\ \fbox3 & 4 & (5)\\ 5 & \fbox6 & (7)\\ \fbox9 & 10 & (11)\\ 11 & \fbox{12} & (13) \\ \fbox{15} & 16 & (17) \end{array}$$

И я заметил, что в каждой паре $p-2,\: p-1$ есть число, кратное трём! И сейчас я тщательно обдумываю этот феномен и его первопричины. И я докопаюсь!

[TOTAL]

AKM в сообщении #332096 писал(а):

И я заметил, что в каждой паре $p-2,\: p-1$ есть число, кратное трём! И сейчас я тщательно обдумываю этот феномен и его первопричины. И я докопаюсь!

Я предлагал топикастеру доказать, что $p$ не делится на $3.$ Ноль внимания.