Наименьшие решения уравнения Ферма в натуральных числах

[tapos]

Гаджимурат в сообщении #331568 писал(а):

tapos в сообщении #331368 писал(а):

1.Уважаемый господин Гаджимурат.
Ваше предложение "Вот и ищите нименьшие значения,учитывая выше написанное." незаконно. Оно противоречит законодательству об авторском праве и преследуется даже в уголовном порядке. Поэтому я требую от Вас прекращения деятельности по подстрекательству к нарушению закона об авторском праве. Мало того, что Вы сами публикуете чужие формулы без ссылок на авторов и источники, но Вы, уже который раз подстрекаете меня, к нарушению закона. Думаю, что модераторы дадут Вам надлежащую оценку.

Очень грубо.Я работаю только опираясь на свои исследования(на данном форуме есть моя статья -вывод основных ур-нений для анализа ВТФ).ТО что мои исследования согласуются с другими доказательствами,то что получена новая,ранее не известная формула для $n=2$,получены новые формулы для анализа ВТФ-не вижу нарушения закона.Я Вас не подстрекаю,а советую прочесть книгу: М.М.Постников ,"Теорема Ферма",М.1978. Вы многое узнаете о ВТФ. Приношу свои извинения,но за Вашей темой больше не слежу и не из-за модернаторов,а потому что 2*2=4.

Если бы Вы заявили, что используете собственные формулы, то никаких проблем не было бы. Вы можете не знать о существовании какого-либо результата и повторно совершить открытие. В этом случае никакого нарушения авторского права нет. Если Вам укажут на существование ранее опубликованного результата, то Вы обязаны в дальнейшем утверждать так: Таким то человеком тогда-то опубликован этот результат. Я, не зная этого, совершил повторное открытие этого результата. В этом случае также нет никакого нарушения авторского права.
Вы же утверждали, что публикуемые Вами формулы, открыты некими великими людьми 150 лет назад. Таким образом, Вы знали имена людей соверших открытие, но публиковали чужие результаты, по существу, под своим именем. Более того, Вы неоднократно предлагали мне использовать эти формулы. Это является грубым нарушением авторского права.
Рекомендуемая Вами книга мне известна. Более того, в одном из моих сообщений в этой теме имеется ссылка на эту книгу.
Вывод: Вы имеете право публиковать любые формулы от своего имени. Однако, если Вам укажут на то, что эти формулы опубликованы ранее, то Вы обязаны в дальнейшем указывать на этот факт.

[shwedka]

tapos в сообщении #331765 писал(а):

Вами формулы, открыты некими великими людьми 150 лет назад. Таким образом, Вы знали имена людей соверших открытие, но публиковали чужие результаты, по существу, под своим именем. Более того, Вы неоднократно предлагали мне использовать эти формулы. Это является грубым нарушением авторского права.

На такие формулы авторское право не распространяется. Оно ограничено во времени.

[AD]

Прошу не обсуждать в этом разделе ничего, кроме математики.
Если обсуждения по существу больше не будет, тема будет закрыта.

tapos, если хотите что-то обсудить про интеллектуальную собственность - пожалуйста, только в отдельной теме и со ссылками на статьи законов, хорошо?

[age]

tapos в сообщении #330829 писал(а):

Ваше утверждение «Неверно: ищутся решения среди троек натуральных чисел.» ошибочно, так как свойства натуральных чисел, выполняющиеся для всех натуральных чисел, обязательно выполняются для любой тройки чисел. Это следует из закона дедукции – все что верно для большего объема, верно и для меньшего объема.

Но неверно обратное утверждение: все что выполняется для троек - не выполняется для всех натуральных чисел. Так как то что верно для меньшего объема - не обязательно верно для большего. А следовательно, данные множества различны и то, что справедливо для натуральных чисел необязательно будет справедливо для троек.

-- Чт июн 17, 2010 12:02:00 --

(Оффтоп)

tapos в сообщении #331765 писал(а):

Если бы Вы заявили, что используете собственные формулы, то никаких проблем не было бы. Вы можете не знать о существовании какого-либо результата и повторно совершить открытие. В этом случае никакого нарушения авторского права нет. Если Вам укажут на существование ранее опубликованного результата, то Вы обязаны в дальнейшем утверждать так: Таким то человеком тогда-то опубликован этот результат. Я, не зная этого, совершил повторное открытие этого результата. В этом случае также нет никакого нарушения авторского права.

Уважаемый tapos. В данной формулировке Вы не привели ни одного источника, откуда взяты слова "Если", "бы", "Вы", "заявили", "что", "используете" и др. Таким образом, вы нарушаете авторское право без указания авторов данных лексических результатов.

Цитата:

Оно противоречит законодательству об авторском праве и преследуется даже в уголовном порядке. Поэтому я требую от Вас прекращения деятельности по подстрекательству к нарушению закона об авторском праве. Мало того, что Вы сами публикуете чужие формулы без ссылок на авторов и источники, но Вы, уже который раз подстрекаете меня, к нарушению закона. Думаю, что модераторы дадут Вам надлежащую оценку.

Prorab:

Было же сказано - не развивать обсуждение отвлеченных от темы вопросов! Для всех сказано, а не только для автора темы

[tapos]

AD в сообщении #331552 писал(а):

По-прежнему уходите от ответов, tapos.

tapos писал(а):

Ваше утверждение «Неверно: ищутся решения среди троек натуральных чисел.» ошибочно, так как свойства натуральных чисел, выполняющиеся для всех натуральных чисел, обязательно выполняются для любой тройки чисел. Это следует из закона дедукции – все что верно для большего объема, верно и для меньшего объема.

Итак, вот Вам элементарный вопрос. Вот множество из двух троек натуральных чисел: $\{(1,2,3),(0,3,3)\}$. Укажите среди них наименьшую.

Уважаемый господин модератор!
У Вас только одна тройка чисел относится к натуральному ряду, это 1, 2 и 3. Число 0 не является натуральным числом. Поэтому ответ очевиден.

Уважаемые господа пользователи и администраторы.
Я обязательно отвечу на все Ваши вопросы. Вначале я отвечу по поводу различных теоретических вопросов, касающихся натурального ряда чисел. А затем отвечу на все остальные вопросы. Потерпите, пожалуйста. Я стараюсь ответить как можно полнее. Поэтому быстро никак не получается.
С уважением

[AD]

tapos в сообщении #332248 писал(а):

У Вас только одна тройка чисел относится к натуральному ряду, это 1, 2 и 3. Число 0 не является натуральным числом. Поэтому ответ очевиден.

"О господи ... " (с)
Ну давайте поговорим о $\{(2,3,5),(1,4,5)\}$, если предпочитаете ноль натуральным числом не считать.

[age]

tapos в сообщении #332248 писал(а):

Уважаемый господин модератор!
У Вас только одна тройка чисел относится к натуральному ряду, это 1, 2 и 3. Число 0 не является натуральным числом. Поэтому ответ очевиден.

(Оффтоп)

[Виктор Ширшов]

Цитата:

Наименьшие решения уравнения Ферма в натуральных числах

tapos. Мне представляется, наименьшим решением уравнения, состоящим из тройки натуральных чисел, будут три первых числа натурального ряда. Разве это не понятно без всяких там математических манипуляций? Говоря об уравнении Ферма (Диофанта), Вам следовало бы найти наименьшее решение, что невозможно с Вашим подходом, опять же для тройки натуральных чисел и не более (в противном случае, это уже не уравнение Ферма-Диофанта) в степени не $1$ или $2$, а $3$.

[lel0lel]

(Оффтоп)

Интересно, по какому уже кругу перетираются одни и те же вопросы. Автору самое время записаться в контрразведку, ибо он уж тайну не выдаст в любом случае.

[tapos]

Ответы расположены по разделам.
Раздел 1. Теория натурального ряда чисел Эдмунда Ландау. Все изложенное в этом разделе является непосредственным цитированием научного труда. Теоремы цитируем без доказательств.
Раздел 2. Некоторые положения теории натурального ряда чисел П.С.Александрова, А.И.Маркушевича, А.Я.Хинчина. Здесь почти слово в слово повторяются положения теории Эдмунда Ландау, но есть и нюансы, которые мы цитируем.
Раздел 3. Сущность тождественных преобразований уравнения.
Раздел 4. Сущность наименьшего решения уравнения Ферма.
Раздел 5. Обоснование условий, при которых уравнение Ферма имеет наименьшее решение.
Раздел 1. Источник: Эдмунд Ландау. Основы анализа. Действия над целыми, рациональными, иррациональными, комплексными числами. Дополненение к учебникам по дифференциальному и интегральному исчислению. Перевод с немецкого Д.А.Райкова. Москва, Издательство иностранной литературы, 1947 г., стр. 17 – 56.
Мы считаем заданным:
некоторое множество, то есть совокупность вещей, называемых натуральными числами, с перечисляемыми ниже свойствами, называемыми аксиомами.
Если задано x и задано y, то
либо x и y – одно и тоже число; это можно также записать в виде x = y (читается равно);
либо x и y – не одно и тоже число; это можно также записать в виде x <> y (читается не равно).
Отсюда чисто логически вытекает
1) x = x для каждого x;
2) из x = y следует y = x;
3) из x = y y = z следует x = z;
Аксиома 1. Единица 1 есть натуральное число.
Аксиома 2. Для каждого x имеется точно одно натуральное число, называемое его последующим и обозночаемое x’
Аксиома 3. Всегда x’ <>1
То есть 1 не служит последующим ни для какого числа.
Аксиома 4. Из x’ = y’ следует x = y
Аксиома 5. Любое множество M натуральных чисел, обладающее свойствами:
1) единица 1 принадлежит M;
2) если число x принадлежит M, то следующее число x’ также принадлежит M
содержит все натуральные числа.
Теорема 1. Из x’ <> y’ следует x <> y
Теорема 2. x’ <> x
Теорема 3. Если x <> 1 то существует только одно u’ такое что x = u’
Теорема 4, одновременно Определение 1. Каждой паре натуральных чисел x, y можно, и притом лишь единственным образом, отнести натуральное число, обозначаемое x + y так, чтобы:
1) x + 1 = x’ для каждого x
2) x + y’ = (x + y)’ для каждого x и для каждого y
x + y называется суммой чисел x и y или числом, получающимся путем прибавления y к x.
Теорема 5. Закон ассиативности сложения. (x + y) + z = x + (y + z)
Теорема 6. Закон коммутативности сложения. x + y = y + x
Теорема 7. y <> x + y
Теорема 8. Из y <> z следует x + y <> x + z
Теорема 9. Для любых заданных x и y имеет место один и только один из следующих трех случаев:
1) x = y
2) x = y + u
3) y = x + v
Определение 2. Если x = y + u то x > y
Определение 3. Если y = x + v то x < y
Теорема 10. Для любых чисел x и y имеет место один и только один из следующих трех случаев:
x = y x > y x < y
Теорема 11. Из x > y следует y < x
Теорема 12. Из x < y следует y > x
Определение 4. x > = y означает x = y или x > y
Определение 5. x <= y означает x = y или x < y
Теорема 13. Из x >= y следует y <= x
Теорема 14. Из x < = y следует y > = x
Теорема 15. Из x < y, y < z следует x < z
Теорема 16. Из x <= y, y < z или x < y, y<= z следует x < z
Теорема 17. Из x <=y, y <= z следует x <= z
Теорема 18. x + y > x
Теорема 19. Из x > y или x = y или x < y соответственно следует x + z > y + z или x + z = y + z или x + z < y + z
Теорема 20. Из x + z > y + z или x + z = y + z или x + z < y + z соответственно следует x > y или x = y или x < y
Теорема 21. Из x > y, z > u следует x + z > y + u
Теорема 22. Из x >= y, z > u или x > y, z>=u следует x + z > y + u
Теорема 23. Из x >= y, z >= u следует x + z >= y + u
Теорема 24. x > = 1
Теорема 25. Из y > x следует y >= x +1
Теорема 26. Из y < x + 1 следует y <= x
Теорема 27. В каждом непустом множестве натуральных чисел имеется наименьшее число (то есть меньше любого другого возможного числа того же множества).
Теорема 28, одновременно Определение 6. Каждой паре натуральных чисел x, y можно, и притом лишь единственным образом, отнести натуральное число, обозначаемое x*y так, чтобы:
1) x*1 = x для каждого x
2) x*y’ = x*y + x для каждого x и каждого y
x*y называется произведением x на y или числом, получающимся от умножения x на y
Теорема 29. x*y = y*x
Теорема 30. x*(y + z) = x*y + x*z
Теорема 31. (x*y)*z = x*(y*z)
Теорема 32. Из x > y или x = y или x < y соответственно следует x*z > y*z или x*z = y*z или x*z < y*z
Теорема 33. Из x*z > y*z или x*z = y*z или x*z < y*z соответственно следует x > y или x = y или x < y
Теорема 34. Из x > y, z > u следует x*z > y*u
Теорема 35. Из x >= y, z > u или x > y, z>= u следует x*z > y*u
Теорема 36. Из x >= y, z >= u следует x*z >= y*u
Далее следует теория дробных чисел, теория вещественных и комплексных чисел, которые базируются на приведенных 36 теоремах.
Раздел 2. Источник: Энциклопедия элементарной математики. Под редакцией П.С.Александрова, А.И.Маркушевича, А.Я.Хинчина. Книга первая. Арифметика. Государственное издательство технико-теоретической литературы. Москва 1951 Ленинград, с. 133 – 152
Определение 2. Если b следует за a, то говорят, что a предшествует b
Теорема 2. Любое число a<>1 имеет предшествующее число и только одно.
Теорема 5. Единица – наименьшее из натуральных чисел.
Теорема 7. При установленном порядке натуральных чисел числа a и a + 1 являются соседними, то есть не существует числа b такого, что a + 1 > b > a
Теорема 8. Любое непустое множество A натуральных чисел содержит наименьшее число, то есть меньшее всех других чисел данного множества.
Теорема 12. Любое непустое и ограниченное сверху множество A натуральных чисел содержит наибольшее число.
Теорема. Разность a – b существует тогда и только тогда, когда a > b. Если разность существует, то она единственна. (стр. 150)
Натуральные числа являются фундаментом, на котором чисто конструктивным путем можно построить все другие числовые множества (стр. 157).
Раздел 3. Сущность тождественных преобразований уравнения.
В самом начале Раздела 1 Эдмунд Ландау определяет порядок использования знака равно:
Если задано x и задано y, то
либо x и y – одно и тоже число; это можно также записать в виде x = y (читается равно);
либо x и y – не одно и тоже число; это можно также записать в виде x <> y (читается не равно).
Это положение и есть основа основ всей математики. Знаком равенства соединяются одни и те же числа, объекты. Таким образом, если применен знак равенства, то это означает, что речь идет об одном и том же числе, объекте. Аналогичные соображения используют П.С.Александров, А.И.Маркушевич, А.Я.Хинчин. Только вместо термина «одно и тоже» они употребляют термин «эквивалентно». Уберите договоренность о порядке использования знака равенства и обоснованность математических действий исчезнет. Поэтому я разделяю положение о том, что знак равенства следует применять для обозначения одного и того же числа, одного и того же объекта. В этом случае, который в практической жизни всегда соблюдается, уравнение x = y можно известными способами преобразовывать: прибавлять к обеим частям одно и то же число, одно и то же выражение, вычитать из обеих частей одно и то же число, одно и то же выражение, умножать на одно и то же число, на одно и то же выражение, делить на одно и то же число, на одно и то же выражение, возводить в одну и ту же степень, извлекать одну и ту же степень и т.д. и т.п. Поскольку знак равенства обозначает, что обе части уравнения являются одним и тем же числом, то одновременное выполнение одних и тех же операций с обеими частями уравнения изменяют эти части, но не изменяют свойство – быть одним и тем же числом, объектом. Это и есть сохранение тождественности во время преобразования уравнения.
Конечно, некоторые люди могут быть не согласны с тем, чтобы использовать знак равенства для обозначения одного и того же числа, одного и того же объекта. В этом случае все известные научные положения математики не применимы, так как знаком равенство будут соединены не одни и те же числа или объекты. Судя по вопросам некоторых пользователей в нашей теме, кое-кто неявно предполагает, что знаком равенства соединены не одни и те же выражения, а различные. Такая точка зрения имеет право на существование, но она не дает никаких инструментов для преобразования уравнений. Преобразования разных чисел и объектов нарушает тождественность преобразований.
Раздел 4. Сущность наименьшего решения уравнения Ферма.
Пусть имеется множество решений в натуральных числах:
X, Y, Z
Строчными (заглавными) буквами X, Y, Z мы будем обозначаем множество значений, а прописными буквами будем обозначать одно конкретное значение x, y, z из множества значений X, Y, Z.
Все три числа в каждой тройке чисел различны в силу попарной взаимной простоты этих чисел и Z > X и Z > Y. Поскольку расположение чисел X и Y в уравнении симметрично, то среди решений могут встречаться решения вида X > Y и решения вида Y > X.
Поэтому каждую тройку чисел упорядочим по величине: на первое место запишем меньшее из чисел x, y, на второе место запишем большее из чисел x, y, на третье место запишем число z.
У нас получится таблица примерно такого вида:
$y_1, x_1, z_1$
$x_2, y_2, z_2$
$x_3, y_3, z_3$
………….
$y_K, x_K, z_K$
Введем новые обозначения: все значения первого столбца таблицы обозначим через b, все значения второго столбца таблицы обозначим через a, все значения третьего столбца обозначим через с. Для натуральных чисел справедливо следующее утверждение: сумма натуральных чисел не изменяется от перемены мест слагаемых. Поэтому новое уравнение $b^n + a^n = c^n$ эквивалентно старому: $X^n + Y^n = Z^n$. Но в новом уравнении число b меньше числа a, число a меньше числа с. Кроме того, для натуральных чисел в уравнении Ферма справедливо утверждение: для каждой пары натуральных чисел a, b существует только одно единственное натуральное число с, удовлетворяющее уравнению. Это следует из теории натурального ряда чисел – сумма двух натуральных чисел равна только одному натуральному числу.
Составим таблицу всех решений уравнения $b^n + a^n = c^n$
Получится следующая таблица:
$b_1, a_1, c_1$
$b_2, a_2, c_2$
…………
$b_i, a_i, c_i$
$b_{i+1}, a_{i+1}, c_{i+1}$
…………
$b_{i+k}, a_{i+k}, c_{i+k}$
…………
$b_j, a_j, c_j$
…………
$b_r, a_r, c_r$
Выберем все решения, с наименьшим первым числом. Пусть такими решениями будут решения с индексами i и j. Это означает, что все числа $b_i, b_{i+1}, …., b_{i+k}, …, b_j$ равны между собой: $b_i = b_{i+1} =... = b_{i+k} = … = b_j$
$b_i, a_i, j_i$
$b_{i+1}, a_{i+1}, c_{i+1}$
…………
$b_{i+k}, a_{i+k}, c_{i+k}$
…………
$b_j, a_j, c_j$
Из этого множества решений выберем решения с наименьшим вторым числом. Пусть это будут числа с индексами $a_{i+k}, …, a_{j-1}$. Это означает, что все числа $a_{i+k}, …, a_{j-1}$ равны между собой: $a_{i+k} = a_{i+k+1} = … = a_{j-1}$
$b_{i+k}, a_{i+k}, c_{i+k}$
$b_{i+k+1}, a_{i+k+1}, c_{i+k+1}$
…………
$b_{j-1}, a_{j-1}, c_{j-1}$
Поскольку выполняется также равенство $b_{i+k} = b_{i+k+1} = … = b_{j-1}$ то выполняется также равенство $c_{i+k} = c_{i+k+1} = … = c_{j-1}$
Для доказательства этого факта следует подставить решения с индексами $i+k, …, j-1$ в уравнение Ферма. Поскольку возведение равных чисел в одну и ту же степень приводит к равным степеням, а сумма равных степеней равна одному и тому же числу, то отсюда следует равенство всех чисел c с индексами i+k,…,j между собой.
Таким образом, если существует наименьшее решение уравнения Ферма, то оно единственное.
Поскольку нам неизвестны все решения уравнения Ферма, то мы не можем непосредственно по изложенной выше методике найти это наименьшее решение. Но мы можем найти условия, при которых уравнение Ферма имеет наименьшее решение. Эти условие необходимо искать в два этапа:
1) вначале находим условие, при котором уравнение Ферма имеет решения с наименьшими значениями числа b;
2) затем находим условие, при котором уравнение Ферма имеет решения с наименьшими значениями a при сохранении условия для решений с наименьшими значениями числа b.
Здесь я согласен с моими оппонентами, что решения не могут взяться из неоткуда. Поэтому мои утверждения в сообщении 12 на странице 1 я аннулирую. Более точные и правильные суждения по этому вопросу на сегодняшний день изложены здесь. Благодарю всех за участие в дискуссии по этому вопросу.
Раздел 5. Обоснование условий, при которых уравнение Ферма имеет наименьшее решение.
Первый этап. Найдем условие, при котором уравнение Ферма имеет решения с наименьшими значениями b.
Из уравнения Ферма выразим $b^n$
$b^n = c^n - a^n$
Наименьшее значение числа $b^n$, а, следовательно, и числа b достигается при максимальном значении числа $a^n$, а, следовательно, и числа a. Это утверждение является следствием аксиом натурального ряда. Максимальное значение числа a равно предшествующему числу числа с. В соответствии с аксиомами натурального ряда числу с предшествует число c - 1 и никакое другое. Следовательно, a = c - 1 или c - a = 1. Таким образом, при условии c = a + 1 разность $c^n – a^n$ достигает наименьшего значения, следовательно число $b^n$ достигает наименьшего значения и, следовательно, число b достигает наименьшего значения.
Второй этап. Найдем находим условие, при котором уравнение Ферма имеет решения с наименьшими значениями a при сохранении условия для решений с наименьшими значениями числа b
Из уравнения Ферма выразим $a^n$
$a^n = c^n - b^n$
Наименьшее значение числа $a^n$, а, следовательно, и числа a достигается при максимальном значении числа $b^n$, а, следовательно, и числа $b$. Это утверждение является следствием аксиом натурального ряда. Максимальное значение числа b равно предшествующему числа с. В соответствии с аксиомами натурального ряда числу с предшествует число c - 1. Следовательно, b = c - 1 или c - b = 1. Но с другой стороны, ранее мы доказали, что c - a = 1. Откуда следует, что a = b. Что невозможно, так как у нас все три числа должны быть различны. Поэтому максимальное значение числа b может быть равно только предшествующему числу предшествующего числа с. В соответствии с аксиомами натурального ряда числу с предшествует число c - 1, а этому числу предшествует число с - 2. Следовательно, b = c - 2 или c - b = 2.
Таким образом, при условии c = b + 2 разность $c^n - b^n$ достигает наименьшего значения, следовательно число $a^n$ достигает наименьшего значения и, следовательно, число a достигает наименьшего значения.
Если c > a или c > b, то обе части неравенства можно возводить в одну и ту же степень и неравенство будет выполняться:
$c > a$
$c^2 > a^2$
……
$c^n > a^n$
Вместо знака больше можно поставить знак меньше или знак равенства. Результат будет тот же: соотношение между числами и их степенями сохраняется.
Что будет, если будем возводить обе части неравенства в различные степени? Например, левую часть неравенства возведем в степень 2, а правую часть неравенства возведем в степень 5.
$c > a$
$c^2 > a^2$
Далее необходимо левую часть оставить без изменения, а правую часть возвести в 3, 4 и 5 степень. Поскольку правая часть увеличивается, а левая часть остается без изменения, то неравенство может не соблюдаться.
Если $c > a$, то $c^n > a^n$ и $c^n - a^n > 0$. И, наоборот, если $c^n - a^n > 0$, то $c^n > a^n$ и $c > a$. Откуда следует, что наибольшее значение числа a, при котором выполняется это неравенство равно a = c - 1 или c - a = 1. Это следствие условия о натуральности чисел a и c.
Если $c^2 > a^5$, то $c > a^{5/2}$, то не только c > a, но и c > a + 1, c > a + 2, …, c > a + t. Где число a + t равно целой части от корня $a^{5/2}$. Поэтому у нас нет никаких оснований утверждать, что наибольшее значение числа a, при котором $c > a^{5/2}$ равно только a = c - 1.
Рассмотрим теперь уравнение $b^n + a^n + p^n = c^n$.
Пусть b < a < p < c
Попробуем обосновать условие для наименьшего решения числа b.
$b^n + a^n = c^n - p^n$
Откуда наименьшее значение сумма $b^n + a^n$ достигает при p = c - 1. Но перейти от суммы $b^n + a^n$ к значениям b и a нет никакой возможности. Аналогично обстоит дело при количестве слагаемых в левой части уравнения Ферма 4, 5 и т.д.
Уравнение Ферма $b^n + a^n = c^n$ насчитывает в левой части всего два слагаемых. Поэтому существует причинно-следственная цепочка: $c^n - a^n$ достигает наименьшей величины при a = c - 1 и, следовательно, $b^n$ достигает наименьшей величины при a = c - 1. Откуда следует, что не только $b^n$ достигает наименьшей величины, но и число b достигает наименьшей величины в следствие натуральности числа b.
Построить такую же цепочку причинно-следственных умозаключений при количестве слагаемых в левой части уравнения Ферма большим 2 невозможно. Разумеется, это вовсе не означает, что в случае наличия количества слагаемых в левой части уравнения Ферма больше 2, наименьшее решение не может быть равно последовательности соседних натуральных чисел. Но однозначности нет.
Таким образом, наименьшее решение уравнения Ферма в виде трех последовательных натуральных чисел является следствием одинаковой величины степени в уравнении Ферма и следствием наличия всего двух слагаемых в левой части уравнения Ферма. При различных степенях и/или увеличении количества слагаемых в левой части уравнения Ферма наименьшее решение может быть, а может не быть последовательностью соседних натуральных чисел.

[AD]

Краткое содержание первых четырех разделов:

Берутся все решения $\{(x_i,y_i,z_i)\}_i$, у которых $x_i<y_i$, и упорядочиваются лексикографически. То есть таки $(2,3,5)>(1,4,5)$.

[shwedka]

tapos в сообщении #332896 писал(а):

Раздел 5. Обоснование условий, при которых уравнение Ферма имеет наименьшее решение.
Первый этап. Найдем условие, при котором уравнение Ферма имеет решения с наименьшими значениями b.
Из уравнения Ферма выразим $b^n$
$b^n = c^n - a^n$
Наименьшее значение числа $b^n$, а, следовательно, и числа b достигается при максимальном значении числа $a^n$, а, следовательно, и числа a. Это утверждение является следствием аксиом натурального ряда. Максимальное значение числа a равно предшествующему числу числа с. В соответствии с аксиомами натурального ряда числу с предшествует число c - 1 и никакое другое. Следовательно, a = c - 1 или c - a = 1. Таким образом, при условии c = a + 1 разность $c^n – a^n$ достигает наименьшего значения, следовательно число $b^n$ достигает наименьшего значения и, следовательно, число b достигает наименьшего значения.

Приведенное рассуждение безупречно. Оно, действительно, определяет условие, при котором УФ имеет решение с наименьшим $b$.
Однако, нас интересуют решения с целочисленным $b$. Покажите, в каком месте этого рассуждения установлено, что найденное наименьшее $b$ целочисленно.

[age]

tapos в сообщении #332896 писал(а):

Из уравнения Ферма выразим $b^n$
$b^n = c^n - a^n$
Наименьшее значение числа $b^n$, а, следовательно, и числа b достигается при максимальном значении числа $a^n$

Не только, еще и при минимальном значении $c^n$. Например, $5^n-4^n<10^n-9^n$.

[tapos]

Уважаемые участники дискуссии. Поскольку после моих ответов Вы не говорите о том, что Вас устраивает, а что не устраивает, то мне трудно выбрать вопросы, требующие ответа. Поэтому ниже я отвечаю на вопросы, которые, по моему мнению, требуют ответа. Возможно, не на все вопросы я здесь ответил. Поэтому не будьте строги и после этого ответа еще раз задайте вопросы, требующие, по Вашему мнению, ответа. Я же буду считать, что этим ответом я удовлетворил Ваше любопытство и за мной не числятся ранее заданные Вами вопросы, требующие ответы. В дальнейшем буду отвечать только на вопросы, заданные после этого ответа.
1. Ответы для swedka
Ваш вопрос: Определение порядка среди решений и определение наименьшего решения я не нашла.
Ответ: Раздел 4 в сообщении 10 на странице 7 в этой теме. Ответ объемный, поэтому не копирую и не цитирую.
Ваш вопрос: Поскольку решения - это тройки чисел, то ссылка на классические теоремы, где говорится о существовании наименьшего элемента в множестве натуральных чисел, некорректна. Если Вы знаете теорему о существовании наименьшего элемента в множестве троек натуральных чисел, пожалуйста, процитируйте.
Ответ: Раздел 1 в сообщении 10 на странице 7 в этой теме. Теорема 27. В каждом непустом множестве натуральных чисел имеется наименьшее число (то есть меньше любого другого возможного числа того же множества).
Ваш вопрос: От того, что Вы поставили знак равенства, эквивалентными (равными) правая и левая часть не становятся. И никакого неявного предположения об их эквивалентности не делается. Если же Вы на своем утверждении настаиваете, приведите доказательство.
Ответ: Раздел 3 в сообщении 10 на странице 7 в этой теме. Ответ объемный, поэтому не копирую.
Ваш вопрос: Неверно, так как тройка чисел - объект иной природы, чем число. Тройка - это не частный случай числа, поэтому ее свойства не следуют из свойств чисел. Вы, по крайней мере, не доказали, что множество троек является подмножеством множества чисел, поэтому ссылка на закон дедукции некорректна. Можно будет обсуждать, когда Вы это докажете.
Ответ: Раздел 1 в сообщении 10 на странице 7 в этой теме. Аксиомы 1 и 2 натурального ряда утверждают, что есть число 1 и бесконечный ряд чисел, так как у каждого натурального числа есть последующее. Поскольку натуральный ряд чисел бесконечный и включает все натуральные числа, то он также включает любую тройку натуральных чисел. Бесконечность заведомо больше трех. Поэтому объем натурального ряда больше объема любой тройки чисел натурального ряда. Мы используем только те свойства троек натуральных чисел, которые присущи всем натуральным числам.
Ваш вопрос: Неверно по той же причине. Вы не доказали, что здесь имеет место больший объем.
Ответ: См. ответ на предыдущий вопрос.
Ваш вопрос: То, что оно (число b) -натуральное число, не доказано. Не доказано, что при извлечении корня n - й степени из уравнения Ферма получается натуральное число. Если считаете, что доказано, процитируйте доказательство.
Ответ: Раздел 3 в сообщении 10 на странице 7 в этой теме. Вы считаете, что знаком равенство можно соединять не одно и то же. Множество других людей, в том числе я, считают наоборот: знаком равенства соединяются только одни и те же числа. Только в этом случае имеется обоснование для различных тождественных преобразований уравнений. Вы имеете право отстаивать свою точку зрения, но в этом случае отсутствуют обоснования для преобразования уравнений. Если не одно и то же число, находящееся в левой и правой частях уравнения, умножить, скажем на 2, то в результате получатся не одни и те же числа. Тождественность преобразований нарушена.
Рассмотрим уравнение $b^n = c^n - a^n$
Поскольку извлечение корня n - й степени есть операция обратная возведению в степень n, то извлечение корня n - й степени из $b^n$ дает число b. Поскольку знаком равенства соединены одни и те же числа, и число b является натуральным по определению, то извлечение корня n - й степени из разности $c^n - a^n$ должно дать натуральное число b. Разумеется, Вы можете сказать, что для степени n > 2 не существует таких чисел. Да, это так. Но знак равенства мы ставим для того, чтобы у нас была возможность путем тождественных преобразований уравнения придти к противоречию и тем самым доказать, что знак равенства мы употребили неверно. Глядя на разность $c^n - a^n$ невозможно сделать однозначный вывод о том, что эта разность не равна натуральному числу $b^n$.
Ваш вопрос: Приведенное рассуждение безупречно. Оно, действительно, определяет условие, при котором УФ имеет решение с наименьшим b. Однако, нас интересуют решения с целочисленным b. Покажите, в каком месте этого рассуждения установлено, что найденное наименьшее b целочисленно.
Ответ: На этой стадии доказательства мы еще не пришли к противоречию. Поэтому доказать или опровергнуть утверждение о целочисленности невозможно. Хотя практика говорит следующее: $3^2 = 5^2 - 4^2$. Но $3^3 <> 5^3 - 4^3$. Таким образом, однозначного ответа нет. Необходимы дальнейшие преобразования уравнения Ферма, чтобы найти однозначный ответ.
2.Ответы для r-axx
Ваш вопрос: Уравнение принимает вид $(c - 1)^n + b^n = c^n$. Про это уравнение из первоначального предположения ничего сказать нельзя. Нельзя определить, имеет ли оно решения или нет. А Вы работаете с ним далее из предположения, что оно имеет решение. Из чего это следует?
Ответ: если не трудно, то прочитайте ответы здесь же на вопросы swedka. Если будете настаивать, то я повторю ответ специально для Вас.
Ответы на все остальные Ваши вопросы, по моему мнению, даны здесь же в ответах для swedka.
3.Ответы для 12d3
Ваш вопрос:
Вот вам следующее рассуждение:
Ищем наименьшее решение уравнения $a^n + b^n = c^n$в натуральных числах. Будем считать, что числа упорядочены таким образом: 0 < b < a < c.
Наименьшее значение b - это единица, потому что меньше 1 натуральных чисел нет. Наименьшее значение a = b + 1, потому что по условию a > b, а b + 1- это наименьшее натуральное число, большее b. Так как b, то a = b +1 = 2. Аналогично, наименьшее значение c = a + 1, потому что по условию c > a, а a + 1- это наименьшее натуральное число, большее a. Так как a = 2, то c = a + 1 = 3. Значит, тройка (1, 2, 3) является наименьшим решением уравнения $a^n + b^n = c^n$.
Согласны вы с этим? Если нет, то почему?
Ответ: При таком подходе, ссылка на уравнение $a^n + b^n = c^n$ не несет какой-либо смысловой нагрузки. Вместо этого уравнения можно ссылаться, например, на такое $a^7 + b^3 = c^{11}$ и вообще можно ссылаться на любое уравнение вида f(a) + f(b) = f(c). Более того, можно ссылаться и на любые другие уравнения независимо от количества неизвестных. Вы находите минимальное решение не для уравнения, а для всего натурального ряда чисел. Действительно в натуральном ряду минимальная тройка чисел это 1, 2, 3. Поскольку мы ищем решения Ферма в натуральных числах, то это тройка чисел может быть, а может не быть решением уравнения Ферма.
Наш подход состоит в том, что мы преобразовываем уравнение Ферма $a^n + b^n = c^n$ и на основе свойств натурального ряда чисел приходим к выводу о равенствах c = b + 2, a = b + 1.
4.Ответ для age
Ваш вопрос: Но неверно обратное утверждение: все что выполняется для троек - не выполняется для всех натуральных чисел. Так как то что верно для меньшего объема - не обязательно верно для большего. А следовательно, данные множества различны и то, что справедливо для натуральных чисел необязательно будет справедливо для троек.
Ответ: Ваше утверждение о том, что все что выполняется для троек - не выполняется для всех натуральных чисел. Так как то что верно для меньшего объема - не обязательно верно для большего абсолютно верно. Случаи когда свойства меньшего объема распространяются на больший объем описывается Аксиомой индукции натурального ряда чисел.
А вот это Ваше утверждение: «что справедливо для натуральных чисел необязательно будет справедливо для троек» является ошибочным. Раздел 1 в сообщении 10 на странице 7 в этой теме. Аксиомы 1 и 2 натурального ряда утверждают, что есть 1 и бесконечный ряд чисел, так как у каждого натурального числа есть последующее. Поскольку натуральный ряд чисел бесконечный и включает все натуральные числа, то он также включает любую тройку натуральных чисел. Бесконечность заведомо больше трех. Поэтому объем натурального ряда больше объема тройки чисел натурального ряда. Мы используем только те свойства троек натуральных чисел, которые присущи всем натуральным числам.
Ваш вопрос: Не только, еще и при минимальном значении $c^n$. Например, $5^n - 4^n < 10^n - 9^n$
Ответ: естестественно можно искать минимальные решения при минимальном c. Но поскольку мы установили, что b < a < c, то найдя наименьшее значение c, очень трудно обосновать величины a, b в силу неоднозначности разложения суммы $a^n + b^n$ на слагаемые.
5.Ответ для AD
Ваш вопрос: Ну давайте поговорим о (2, 3, 5), (1, 4, 5), если предпочитаете ноль натуральным числом не считать.
Ответ: Если эти тройки чисел являются решением уравнения Ферма, то наименьшим решением будет тройка (1, 4, 5). Я говорю «если», так как для иных целей может быть установлено другое правило определения наименьшей тройки. У нас цель - найти наименьшее решение при условии b < a < c, поэтому первым мы ищем решение для самого маленького числа в тройке - числа b. Если таких троек окажется несколько, то среди найденных троек выбираем наименьшую по минимальной величине числа a.
6.Ответ для Виктора Ширшова
Ваш вопрос: Мне представляется, наименьшим решением уравнения, состоящим из тройки натуральных чисел, будут три первых числа натурального ряда. Разве это не понятно без всяких там математических манипуляций? Говоря об уравнении Ферма (Диофанта), Вам следовало бы найти наименьшее решение, что невозможно с Вашим подходом, опять же для тройки натуральных чисел и не более (в противном случае, это уже не уравнение Ферма-Диофанта) в степени не 1 или 2, а 3.
Ответ: Если не трудно, то прочитайте, пожалуйста ответ для 12d3 в этом сообщении. Если трудно, то я отвечу персонально Вам, скопировав ответ для 12d3.
7.Ответ для lel0lel
Ваш вопрос: Интересно, по какому уже кругу перетираются одни и те же вопросы. Автору самое время записаться в контрразведку, ибо он уж тайну не выдаст в любом случае.
Ответ: Ваше мнение имеет эквивалент в народной мудрости – в провале спецоперации виноваты не сотрудники спецслужб, а просто враг хитер и коварен. К Вам лично это не относится.

[12d3]

tapos в сообщении #333159 писал(а):

Поскольку мы ищем решения Ферма в натуральных числах, то это тройка чисел может быть, а может не быть решением уравнения Ферма.

Ваша минимальная тройка вида $(a;a+1;a+2)$ тоже не является решением. Чем тогда ваша тройка лучше моей?
Я даже могу сказать, чем моя лучше. Поскольку ваша тройка не является решением, значит вы ищете минимальную тройку не на множестве решений, а на каком то другом множестве. По всей видимости, это множество всех возможных троек натуральных чисел. Тогда моя тройка действительно минимальна на таком множестве.