Преобразование гиперболического тангенса

[lexust1]

Здравствуйте!
Вывожу аналитическое выражение, которое может иметь прикладное значение в энергетике. Смог разрешить его численными методами, но хотелось бы получить решение в общем виде.
На одном из этапов преобразования упомянутого выражения столкнулся со следующей проблемой, которая не позволяет двигаться дальше. Есть выражение вида:
$\th kx$,
где $k$ и $x$ - любые комплексные числа.
Есть ли возможность каким-нибудь образом "избавиться" от $k$ перед $x$ под знаком гиперболического тангенса, т.е. чтобы в преобразованном выражении гиперболический тангенс встречался только в виде $\th x$ (при этом допустимо возведение его в степень, наличие коэффицентов перед знаком тангенса и т.п. )
По сути, надо получить выражение аналогичное формулам кратного угла, в качестве одного из примеров которого может служить:
$\th 5x=\th x\frac{\th^4(x)+10\th^2(x)+5}{5\th^4(x)+10\th^2(x)+1}$
Был вариант использования формулы
$\sin kx=2^{k-1}\prod\limits_{n=0}^{k-1} \sin (x+\frac{\pi n}{k})$,
через которую можно было бы получить гиперболические синус и косинус, и, как их отношение, тангенс. Но использовать данную формулу можно, только когда $k$ - целое число.
В моем же случае $k$ - это любое комплексное число.
Подскажите, пожалуйста, решаема ли в принципе эта задача, и если да, то какие пути решения могут быть.

[arseniiv]

lexust1 в сообщении #331559 писал(а):

В моем же случае $k$ - это любое комплексное число.
Подскажите, пожалуйста, решаема ли в принципе эта задача, и если да, то какие пути решения могут быть.

С очень большой вероятностью задача нерешаема. Может, вам поможет разложение ряд Тейлора и что-нибудь подобное "бесконечное", что можно вычислить с нужной точностью.

[lexust1]

arseniiv в сообщении #331683 писал(а):

Может, вам поможет разложение ряд Тейлора и что-нибудь подобное "бесконечное", что можно вычислить с нужной точностью.

Спасибо за ответ.
Я думал над этим, чтобы разложить синус и косинус в ряд Тейлора, взять их отношение и использовать несколько первых членов. Первых 3-4 членов с предъявляемой точностью к моей инженерной задаче, скорей всего, хватило бы. Но хотелось бы иметь выражение без погрешности, пускай и даже пренебрежимо малой. Интуитивно чувствовал, что вряд ли это реализуемо. Надеялся, что более опытные математики подскажут.
Видимо, придется идти по такому пути, либо оставлять решение численным методам.

[arseniiv]

Есть же ряд Тейлора и для тангенса! Зачем вычислять приближение синуса и приближение косинуса отдельно.

А, может быть, есть что-то лучше ряда для такой задачи в плане точности! Сюда, думаю, кто-нибудь ещё заглянет.