Делимость многочленов

[Leox]

Может ли многочлен $(1-x^{i_1} y^{j_1}z^{k_1})(1-x^{i_2} y^{j_2}z^{k_2})$ делиться на многочлен $(1-xz)(1-yz)(1-yz^3)$? Если да, то найти значения $i_1,i_2,j_1,j_2, k_1,k_2$ при которых ето возможно.

[paha]

если да, то исходный многочлен обращается в ноль при $xz=1$, при $yz=1$ и при $yz^3=1$

это необходимое условие

[Sonic86]

paha писал(а):

если да, то исходный многочлен обращается в ноль при $xz=1$, при $yz=1$ и при $yz^3=1$

это необходимое условие

Следовательно,

$$\left\{ \begin{array}{ccc} i_1=k_1 \vee i_2=k_2 \\ j_1=k_1 \vee j_2=k_2 \\ 3j_1=k_1 \vee 3j_2=k_2 \end{array}$$

-- Ср июн 16, 2010 14:17:47 --

И вдобавок одноименные индексы одновременно не равны нулю.

-- Ср июн 16, 2010 14:20:03 --

А значит в силу симметрии скобок полагаем, что $j_1=k_1$, откуда (поскольку одноименные индексы не равны нулю одновременно), $3j_2=k_2$.
(в симметричном случае $j_2=k_2$, и $3j_1=k_1$).

-- Ср июн 16, 2010 14:33:34 --

Рассматривая отдельно 2 случая $i_1=k_1$ и $i_2=k_2$ получаем 2 многочлена:
1. $(1-x^{k_1}y^{k_1}z^{k_1})(1-x^{i_2}y^{j_2}z^{3j_2})$.
2. $(1-x^{i_1}y^{k_1}z^{k_1})(1-x^{3j_2}y^{j_2}z^{3j_2})$.
В 1-м случае 1-я скобка должна делится на $yz-1$, поэтому $k_1=0$, поэтому она не делится на $yz-1$ - этот случай исключаем.
Во 2-м случае 1-я скобка должна делится на $yz-1$, поэтому $i_1=0$, после чего она уже не делится на $xz-1$. 2-я скобка должна делиться на $xz-1$, поэтому $j_2=0$, откуда вторая скобка не делится на $xz-1$.
Ну значит решений нет

-- Ср июн 16, 2010 14:34:02 --

Или я опять накосячил?

[Leox]

похоже на правду, у меня тоже самое выходит, спасибо