2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 lim(x^2*sin(1/x)-x) при x стермится к бесконечности.
Сообщение14.06.2010, 22:12 
Аватара пользователя


29/12/09
74
И снова здравствуйте :-) .
Пытаюсь посчитать предел $\lim\limits_{x\to\infty}\left(x^2\sin\frac 1x-x\right)$. По графику видно, что он равен 0. Делаю вот что: $\lim\limits_{x\to\infty}\left(x^2\sin\frac 1x-x\right)=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x\sin\frac 1x-1}{\frac 1x}$. Получаю неопределённсоть 0/0. Пытаюсь применить правило Лопиталя: $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x\sin\frac 1x-1}{\frac 1x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin\frac 1x -\frac 1x\cos\frac 1x}{-\frac 1{x^2}}=\lim\limits_{x\to\infty}\left(x\cos\frac 1x-x^2\sin\frac 1x\right)$. Что с этим делать - непонятно. Как доказать этот предел. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: lim(x^2*sin(1/x)-x) при x стермится к бесконечности.
Сообщение14.06.2010, 22:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1238
Извините, а нельзя тут решить так $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^2 \sin{\frac{1}{x}}}{x}=1$ (первый замечательный), поэтому ваш предел равен нулю? Или из первого второе не следует?

 Профиль  
                  
 
 Re: lim(x^2*sin(1/x)-x) при x стермится к бесконечности.
Сообщение14.06.2010, 22:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
По такой логике $\lim\limits_{x\to\infty}\left(x^3\sin\frac 1x-x^2\right)$ тоже был бы нулём. Однако - - -

 Профиль  
                  
 
 Re: lim(x^2*sin(1/x)-x) при x стермится к бесконечности.
Сообщение14.06.2010, 22:38 


13/11/09
166
Замените $ t = \frac{1}{x}, \text{тогда предел равен}\lim\limits_{t \to 0} \frac{\sin t - t }{t^2} \text{и дважды правило Лопиталя}$

 Профиль  
                  
 
 Re: lim(x^2*sin(1/x)-x) при x стермится к бесконечности.
Сообщение14.06.2010, 22:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1238
Понял, что тупость написал :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: lim(x^2*sin(1/x)-x) при x стермится к бесконечности.
Сообщение14.06.2010, 23:45 
Аватара пользователя


29/12/09
74
mitia87 в сообщении #331283 писал(а):
Замените $ t = \frac{1}{x}, \text{тогда предел равен}\lim\limits_{t \to 0} \frac{\sin t - t }{t^2} \text{и дважды правило Лопиталя}$

$\lim\limits_{x\to\infty}\left(x^2\sin\frac 1x-x\right)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{\sin t-t}{t^2}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{\cos t-1}{2t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{-\sin t}2=0$.
Спасибо за помощь!

 Профиль  
                  
 
 Re: lim(x^2*sin(1/x)-x) при x стермится к бесконечности.
Сообщение14.06.2010, 23:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2748
Физтех
$\cos{t}-1$ в числителе...

 Профиль  
                  
 
 Re: lim(x^2*sin(1/x)-x) при x стермится к бесконечности.
Сообщение14.06.2010, 23:49 
Аватара пользователя


29/12/09
74
ShMaxG в сообщении #331297 писал(а):
$\cos{t}-1$ в числителе...

Дааа, мне пора спать, если такое пишу :-) .

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group