2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 lim(x^2*sin(1/x)-x) при x стермится к бесконечности.
Сообщение14.06.2010, 22:12 
Аватара пользователя
И снова здравствуйте :-) .
Пытаюсь посчитать предел $\lim\limits_{x\to\infty}\left(x^2\sin\frac 1x-x\right)$. По графику видно, что он равен 0. Делаю вот что: $\lim\limits_{x\to\infty}\left(x^2\sin\frac 1x-x\right)=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x\sin\frac 1x-1}{\frac 1x}$. Получаю неопределённсоть 0/0. Пытаюсь применить правило Лопиталя: $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x\sin\frac 1x-1}{\frac 1x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin\frac 1x -\frac 1x\cos\frac 1x}{-\frac 1{x^2}}=\lim\limits_{x\to\infty}\left(x\cos\frac 1x-x^2\sin\frac 1x\right)$. Что с этим делать - непонятно. Как доказать этот предел. Спасибо.

 
 
 
 Re: lim(x^2*sin(1/x)-x) при x стермится к бесконечности.
Сообщение14.06.2010, 22:33 
Аватара пользователя
Извините, а нельзя тут решить так $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^2 \sin{\frac{1}{x}}}{x}=1$ (первый замечательный), поэтому ваш предел равен нулю? Или из первого второе не следует?

 
 
 
 Re: lim(x^2*sin(1/x)-x) при x стермится к бесконечности.
Сообщение14.06.2010, 22:35 
Аватара пользователя
По такой логике $\lim\limits_{x\to\infty}\left(x^3\sin\frac 1x-x^2\right)$ тоже был бы нулём. Однако - - -

 
 
 
 Re: lim(x^2*sin(1/x)-x) при x стермится к бесконечности.
Сообщение14.06.2010, 22:38 
Замените $ t = \frac{1}{x}, \text{тогда предел равен}\lim\limits_{t \to 0} \frac{\sin t - t }{t^2} \text{и дважды правило Лопиталя}$

 
 
 
 Re: lim(x^2*sin(1/x)-x) при x стермится к бесконечности.
Сообщение14.06.2010, 22:58 
Аватара пользователя
Понял, что тупость написал :oops:

 
 
 
 Re: lim(x^2*sin(1/x)-x) при x стермится к бесконечности.
Сообщение14.06.2010, 23:45 
Аватара пользователя
mitia87 в сообщении #331283 писал(а):
Замените $ t = \frac{1}{x}, \text{тогда предел равен}\lim\limits_{t \to 0} \frac{\sin t - t }{t^2} \text{и дважды правило Лопиталя}$

$\lim\limits_{x\to\infty}\left(x^2\sin\frac 1x-x\right)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{\sin t-t}{t^2}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{\cos t-1}{2t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{-\sin t}2=0$.
Спасибо за помощь!

 
 
 
 Re: lim(x^2*sin(1/x)-x) при x стермится к бесконечности.
Сообщение14.06.2010, 23:47 
Аватара пользователя
$\cos{t}-1$ в числителе...

 
 
 
 Re: lim(x^2*sin(1/x)-x) при x стермится к бесконечности.
Сообщение14.06.2010, 23:49 
Аватара пользователя
ShMaxG в сообщении #331297 писал(а):
$\cos{t}-1$ в числителе...

Дааа, мне пора спать, если такое пишу :-) .

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group