lim(x^2*sin(1/x)-x) при x стермится к бесконечности.

[Rubik]

И снова здравствуйте .
Пытаюсь посчитать предел $\lim\limits_{x\to\infty}\left(x^2\sin\frac 1x-x\right)$. По графику видно, что он равен 0. Делаю вот что: $\lim\limits_{x\to\infty}\left(x^2\sin\frac 1x-x\right)=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x\sin\frac 1x-1}{\frac 1x}$. Получаю неопределённсоть 0/0. Пытаюсь применить правило Лопиталя: $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x\sin\frac 1x-1}{\frac 1x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin\frac 1x -\frac 1x\cos\frac 1x}{-\frac 1{x^2}}=\lim\limits_{x\to\infty}\left(x\cos\frac 1x-x^2\sin\frac 1x\right)$. Что с этим делать - непонятно. Как доказать этот предел. Спасибо.

[Legioner93]

Извините, а нельзя тут решить так $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^2 \sin{\frac{1}{x}}}{x}=1$ (первый замечательный), поэтому ваш предел равен нулю? Или из первого второе не следует?

[ИСН]

По такой логике $\lim\limits_{x\to\infty}\left(x^3\sin\frac 1x-x^2\right)$ тоже был бы нулём. Однако - - -

[mitia87]

Замените $ t = \frac{1}{x}, \text{тогда предел равен}\lim\limits_{t \to 0} \frac{\sin t - t }{t^2} \text{и дважды правило Лопиталя}$

[Legioner93]

Понял, что тупость написал

[Rubik]

mitia87 в сообщении #331283 писал(а):

Замените $ t = \frac{1}{x}, \text{тогда предел равен}\lim\limits_{t \to 0} \frac{\sin t - t }{t^2} \text{и дважды правило Лопиталя}$

$\lim\limits_{x\to\infty}\left(x^2\sin\frac 1x-x\right)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{\sin t-t}{t^2}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{\cos t-1}{2t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{-\sin t}2=0$.
Спасибо за помощь!

[ShMaxG]

$\cos{t}-1$ в числителе...

[Rubik]

ShMaxG в сообщении #331297 писал(а):

$\cos{t}-1$ в числителе...

Дааа, мне пора спать, если такое пишу .