Как доказать, что число иррационально?

[st256]

Ну вот, допустим, какие-то отсчеты синусоиды являются иррациональными числами.

[Mathusic]

Что ещё за отсчёты? Поставьте задачу нормально.

[gris]

Надо предположить, что число рационально, и прийти к противоречию.

[st256]

Mathusic в сообщении #331022 писал(а):

Что ещё за отсчёты? Поставьте задачу нормально.

Поставить грамотно задачу, это почти ее решить. Вот я пока ее решить не могу. Выискиваю какие-то частности, пытаюсь что-то нащупать.
Отсчеты это значения какой-либо функции в определенные моменты времени. Например:
$\sin(t) $ - функция
$\sin(nT) $ - отсчеты этой функции в моменты времени $nT$. $n$ - целое число.

Есть подозрение, что в некоторых случаях $\sin(nT + \varphi) $ - только иррациональные числа.

-- Пн июн 14, 2010 12:44:54 --

gris в сообщении #331023 писал(а):

Надо предположить, что число рационально, и прийти к противоречию.

А какие теоремы есть по поводу того, что некое число иррационально?

[arseniiv]

Есть какая-то теорема об иррациональности $\sin x$, когда $x \in {\Bbb Q} \backslash \{ 0\} $.

[Sonic86]

Есть теорема, доказанная, кажется, Гельфондом:
Если $a \neq 0$ - алгебраическое число, то $e^a$ - трансцендентно.
Правда я за точность формулировки не ручаюсь. Но Ваше утверждение - частный случай этого.

[ИСН]

Нет, это теорема Линдемана - доказана гораздо раньше и гораздо шире (там не просто одно число, но даже сумма таких чисел).
А Гельфонд, насколько помню, расколол проблему $2^\sqrt 2$.

[Mathusic]

st256
Вы всё-равно задачу не поставили.
Вот так может хотели?
Существуют
$\exist t \exist \varphi: (\sin(nt+\varphi) \not \in \mathbb{Q} (\forall n \in \mathbb{Z}))$.
Только вот какие $t, \varphi$? Целые, рациональные, иррациональные, действительные..?

P.S. Квантор всеобщности как будет? \exist не работает.

[ИСН]

$\exists$. Только это не всеобщности, а существования. А тот - $\forall$

[st256]

ИСН в сообщении #331075 писал(а):

Нет, это теорема Линдемана - доказана гораздо раньше и гораздо шире (там не просто одно число, но даже сумма таких чисел).
А Гельфонд, насколько помню, расколол проблему $2^\sqrt 2$.

А за это спасибо. Посмотрю, как она доказывается.

-- Пн июн 14, 2010 16:51:31 --

Mathusic в сообщении #331087 писал(а):

st256
Вы всё-равно задачу не поставили.
Вот так может хотели?
Существуют
$\exist t \exist \varphi: (\sin(nt+\varphi) \not \in \mathbb{Q} (\forall n \in \mathbb{Z}))$.
Только вот какие $t, \varphi$? Целые, рациональные, иррациональные, действительные..?

Нет, ситуация несколько хужее. Дискретизировать надо синусоиду на каком-то количестве периодов. Т.е. последовательность, полученная в результате дискретизации должна быть периодической. Ну к примеру так:

Существуют
$\exist t \exist \varphi: (\sin( \frac {2 \pi K} {N} nt+\varphi) \not \in \mathbb{Q} (\forall n, N, K \in \mathbb{Z}))$.

[Mathusic]

ИСН в сообщении #331100 писал(а):

$\exists$. Только это не всеобщности, а существования. А тот - $\forall$

Да-да. Надо было лишнюю букву приписать.

-- Пн июн 14, 2010 17:49:38 --

st256 в сообщении #331129 писал(а):

$\exist t \exist \varphi: (\sin( \frac {2 \pi K} {N} nt+\varphi) \not \in \mathbb{Q} (\forall n, N, K \in \mathbb{Z}))$.

Тогда это равносильно
$\exists t \exists \varphi: (\sin( \pi q t+\varphi) \not \in \mathbb{Q} \ (\forall q \in \mathbb{Q}))$
Опять не понятно, какие $t, \varphi$, т.к. можно взять $t=0$.

[RIP]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #331075 писал(а):

А Гельфонд, насколько помню, расколол проблему $2^\sqrt 2$.

Нет, Гельфонд расколол $\mathrm e^\pi$ (постоянная Гельфонда). Хотя позже он и с общим случаем разобрался, но до этого $2^{\sqrt2}$ расколол Кузьмин, "и поэтому $2^{\sqrt2}$ называют постоянной Гельфонда--Шнайдера".

(Раз уж так понравилось, то разоффтоплю.)
Про синус я знаю такие теоремы:
Если $\alpha\ne0$ --- алгебраическое число, то $\sin\alpha$ трансцендентно. (Простое следствие теоремы Линдемана, впервые явно сформулированное по-видимому Вейерштрассом.)
Если $\alpha\notin\mathbb Q$ --- алгебраическое число, то $\sin\pi\alpha$ трансцендентно. (Простое следствие теоремы Гельфонда--Шнайдера.)
Если $\alpha=a/b$, $a\in\mathbb Z$, $b\in\mathbb N$, $(a,b)=1$, то $\cos2\pi\alpha$ рационально тогда и только тогда, когда $b\in\{1,2,3,4,6\}$. Кроме того, при $b\ge3$ число $\cos2\pi\alpha$ алгебраическое степени $\varphi(b)/2$, где $\varphi(\cdot)$ --- функция Эйлера. Синус сводится к косинусу с помощью формулы $\sin z=\cos(\pi/2-z)$ --- там получается более громоздкая формулировка. (Не знаю чьё, простое следствие общеизвестных результатов.)
Проще говоря: единственные рациональные значения, которые принимает синус от угла, градусная мера которого рациональна, --- $0,\pm1/2,\pm1$. (Док-во этого утверждения по силам даже школьнику.)

[Sonic86]

st256 писал(а):

Дискретизировать надо синусоиду на каком-то количестве периодов. Т.е. последовательность, полученная в результате дискретизации должна быть периодической.

Ну тогда $T=\frac{2 \pi}{m}, m \in \mathbb{N}$. Посмотрите, что написано у RIP. А $\phi$ любое.

[st256]

RIP,
спасибо.

[maxal]

ИСН в сообщении #331075 писал(а):

А Гельфонд, насколько помню, расколол проблему $2^\sqrt 2$.

Ради исторической справедливости замечу, что доказательство трансцендентности $2^\sqrt 2$ было впервые дано в 1930 году Р. О. Кузьминым в работе:

Кузьмин Р.О. Об одном новом классе трансцендентных чисел // Изв. АH СССР. Сер. мат. - 1930. - Т. 3. - С. 583-597.

Гельфонд же доказал более общий результат позднее, в 1934 году.