Равномощность квадрата кругу

[ewert]

caxap в сообщении #330875 писал(а):

, но так не все координаты по-моему можно закодировать.?

Формально -- не все, там формальные проблемы с нулями/девятками в периоде появляются, но это все семечки, ибо множество таких проблем счетно.

[gris]

Хм... Кривые Пеано хороши, но они не могут служить координатами, ведь они самопересекаются.
Тогда какие-то точки будут иметь несколько координат.
Биекция отрезка на квадрат не может быть непрерывной.
Хотя в полярной системе координат каждая точка имеет бесконечное число координат.
Кроме того, все эти кривые, по-моему, нигде не гладкие.
В общем, точно не знаю, так что умолкаю.

[RIP]

(Оффтоп)

Легко построить биекцию между интрезком $(0,1]$ и квадратом без куска границы $(0,1]^2$. Каждое число $x\in(0,1]$ взаимно-однозначно кодируется последовательностью целых неотрицательных чисел по правилу: $x=0.\underbrace{0\ldots0}_{x_1}1\underbrace{0\ldots0}_{x_2}1\ldots=\sum_{n=1}^\infty2^{-x_1-x_2-\ldots-x_n-n}\longleftrightarrow(x_1,x_2,\ldots)$. А уж установить биекцию между множеством пар послед-тей и множеством послед-тей уже проще простого: $(x,y)\longleftrightarrow(x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3,\ldots)$.

[Djo7]

А еще можно так: пусть $x=0,1a1+0,01a2+..$ и$y=0,1b1+0,01b2+...$, тогда им во взаимо- однозначное соответствие ставится точка $c$$c=0,1a1+0,001b1+0,0001a2+0,00001b2+...$

(Оффтоп)

верно?

[ewert]

Вообще-то есть достаточно базовая (и достаточно деццкая) теоремка: прибавление к бесконечному множеству не более чем счетного -- не меняет мощности. Или я чего-то не понимаю -- или я не понимаю чего-то...