Существует. Надо чтобы частичные суммы ряда сначала долго топтались около

, потом резко перескакивали на

и топтались бы около неё, потом обратно к

и т.д. Тогда последовательность средних арифметических частичных сумм тоже будет скакать от

до

, т.е. сходимости по Чезаро не будет.
А что значит линейный метод суммирования?
По теореме Хана-Банаха существует непрерывный линейный функционал на

, который каждой ограниченной последовательности из

сопоставляет "обобщенный предел", причём для последовательностей, сходящихся в обычном смысле, эти пределы совпадают.