Линейные методы суммирования

[ven8469]

Существует ли ограниченная последовательность, для которой метод Чезаро расходится? И если существует, то привести пример?

И если существует, то возможно ли построить линейный метод суммирования, для которого любая ограниченная последовательность сходиться?
(Может быть таким свойством обладают функциональные методы, например Абеля или Бореля)

[Padawan]

Существует. Надо чтобы частичные суммы ряда сначала долго топтались около $1$, потом резко перескакивали на $-1$ и топтались бы около неё, потом обратно к $1$ и т.д. Тогда последовательность средних арифметических частичных сумм тоже будет скакать от $1$ до $-1$, т.е. сходимости по Чезаро не будет.

А что значит линейный метод суммирования?

По теореме Хана-Банаха существует непрерывный линейный функционал на $\ell_\infty$, который каждой ограниченной последовательности из $\ell_\infty$ сопоставляет "обобщенный предел", причём для последовательностей, сходящихся в обычном смысле, эти пределы совпадают.

[ven8469]

Линейный в смысле линейно зависит от последовательности.
Ну это теоретически. А аналитически можете написать такой метод?

[Padawan]

Навряд ли...

[ven8469]

Примером может быть выпуклая комбинация верхнего и нижнего предела последовательности

[Padawan]

ven8469 в сообщении #381203 писал(а):

Примером может быть выпуклая комбинация верхнего и нижнего предела последовательности

Свойство линейности не выполнено. Нижний предел суммы не равен сумме нижних пределов.