В чём разница между символами

[wolf.ram]

$\subset$ и $\subseteq$?
Наверное, очень глупый вопрос…

[meduza]

Первый исключает равенство ($\{1,2,3\}\not\subset\{1,2,3\}$). Т. е. аналогично $<$ и $\leqslant$.

[Mathusic]

Да, второй означает, что подмножество может быть несобственным, т.е. совпадать со всем множеством.

[RIP]

Существуют (как минимум) 2 традиции.
1) Некоторые употребляют $\subset$ для строгого включения, а $\subseteq$ --- для нестрогого. Т.е. запись $A\subseteq B$ означает, что $A$ --- подмножество $B$, а $A\subset B$ --- то же самое, что $(A\subseteq B)\wedge(A\ne B)$.
2) Другие используют значок $\subset$ для нестрогого включения, а для строгого юзают $\subsetneq$.

(Оффтоп)

Лично я в последнее время значок $\subset$ вообще стараюсь не употреблять во избежание недоразумения; использую $\subseteq$ и $\subsetneq$.

[wolf.ram]

Всё равно не до конца понятно. Вот, приведу цитату из учебника(Д. Кук, Г. Бейз «Компьютерная математика»):

Цитата:

Пусть множества $A$ и $B$ таковы, что из принадлежности $x \in A$ следует, что $x \in B$. Тогда говорят, что $A$ есть подмножество $B$, и обозначают это как $A \subseteq B$… Далее, если существует элемент $B$, который не принадлежит $A$, то $A$ называют собственным подмножеством $B$ и записывают в виде $A \subset B$…

Хм. Но, ведь если $B$ не содержит элементов, не принадлежащих $A$, то это означает, что множетсва $A$ и $B$ эквивалентны? Тогда почему используется символ $\subseteq$, а не просто $=$? Или я чего-то не догоняю?

[maxmatem]

Теперь дайте определение эквивалентных множеств!
Да в печку этот учебник

Цитата:

(Д. Кук, Г. Бейз «Компьютерная математика»):

и включите здравый смысл.

Цитата:

Но, ведь если $B$ не содержит элементов, не принадлежащих $A$, то это означает, что множетсва $A$ и $B$ эквивалентны?

это как раз и объясняет что может быть, что $B$ содержит больше элементов, чем $A$, ну вот сами смотрите пусть $\[ B = \{ 1,2,3\} \]$
, а $\[ A = \{ 1,2\} \]$

. вы видите что $\[ A \subseteq B \]$ в $B$ , содержится элемент ${3}$, который отсутствует в $A$, и тогда по определению (из вашего же учебника ) $A$ собственное подмножество множества $B$. Понятно?

[meduza]

wolf.ram в сообщении #330241 писал(а):

если $B$ не содержит элементов, не принадлежащих $A$, то это означает, что множетсва $A$ и $B$ эквивалентны?

Нет. Это значит, что $B\subseteq A$.

wolf.ram в сообщении #330241 писал(а):

почему используется символ $\subseteq$, а не просто $=$?

$\subseteq$ -- это "включается или равно". Так же как $\leqslant$ -- "меньше или равно".

Из $A\subset B$ следует $A\subseteq B$, но наоборот -- не всегда.

[wolf.ram]

maxmatem в сообщении #330247 писал(а):

Да в печку этот учебник

Почему? Из-за невменяемого количества опечаток или ещё по какой причине?

meduza в сообщении #330249 писал(а):

$\subseteq$ -- это "включается или равно". Так же как $\leqslant$ -- "меньше или равно".

Из $A\subset B$ следует $A\subseteq B$, но наоборот -- не всегда.

Спасибо, теперь точно понял )

[ewert]

wolf.ram в сообщении #330241 писал(а):

Тогда почему используется символ $\subseteq$, а не просто $=$?

Потому, что значок $\subseteq$ допускает $=$ как частный случай.

Вообще же разговор -- вполне схоластический. Наиболее употребительная традиция -- что значок $\subset$ нестрогий. А если нужны какие уточнения, то они прямым текстом и приводятся. Черточки же всяческие на этом фоне -- выглядят откровенным пижонством.

[maxmatem]

Цитата:

Почему? Из-за невменяемого количества опечаток или ещё по какой причине?

Да просто, такие нюансы надо самому именно прощупать, взять пару примеров самому покрутить , и так и сяк, и ОП эврика !!осенит и озарит!

[wolf.ram]

meduza в сообщении #330249 писал(а):

wolf.ram в сообщении #330241 писал(а):

если $B$ не содержит элементов, не принадлежащих $A$, то это означает, что множетсва $A$ и $B$ эквивалентны?

Нет. Это значит, что $B\subseteq A$.

Чуть-чуть недосказал. Имелось в вид: если $B$ не содержит элементов, не принадлежащих $A$ при $A\subseteq B$…