вопрос об угле, заключенном между хордой и касательной

[maikle]

Всем хая! Подскажите пожалуйста. Листая старые тетрадки нашел теорему об угле, заключенном между хордой и касательной:

http://img824.**invalid link**/img824/4292/img005w.jpg [1.8MB]

И обнаружил, что пункт 2, действие 2 не совсем понятно. А именно не понимаю, почему точка А делит дугу ДАС пополам.

Спасибо!

[worm2]

По-моему, тоже не совсем понятно.

Мне понятно так: AB — касательная, OA — радиус, значит, AB перепендикулярно OA, а поскольку CD параллельно AB, то AB перепендикулярно CD.
Далее, рассматриваем треугольники ODX и OCX, где X — точка пересечения AB и CD, у них сторона общая, гипотенузы равны. Значит, они равны, и уже потом на основании этого можно делать вывод, что углы DOA и COA равны. По-доброму, тут ещё нужно рассмотреть отдельно случай, когда O=X, но он тривиальный.

Хотя тут можно завести разговор о соображениях симметрии, но они не всех могут убедить.

[Sasha2]

Я доказываю это утверждение так:
1) Предварительно указав, что меньший угол (из тех двух, которые касательная образует с хордой, выходящей из точки касания) и соответственно меньшая из двух дуг, на которые данная хорда делит всю окружность
2) Лучше провести диаметр AF через точку A. Тогда сразу угол AFD измеряется половиной той же самой дуги и равен тому же самому углу, так как эти два угла (между касательной и хордой и AFD) образованы соответственно перпендикулярными прямыми и оба не более прямого.

Ну разумеется нужно помнить, что угол, вписанный в полуокрыжность (опирающийся на диаметр) - прямой.

[maikle]

А почему треугольник должен обязательно быть равнобедренным, если он имеет основание, параллельное касательной? Как это доказать всмысле.

[maikle]

worm2

Я разобрался, как нужно делать. Проводится радиус к касательной (перпендикулярно) и сравниваются треугольники ADM и CMA, где AM - высота треугольника ACD. После несложных построений, получаем, что AM является медианой в треугольнике OCD. Из этого следует, что ADM=CMA. Ну и понятно теперь, почему он равнобедренный и точка А делит дугу пополам