Свойства факториала

[age]

1. Доказать, если $p=4k-1$ - простое, $p>3$, то $\left[\left(\dfrac{p-1}{2}\right)!\pm1\right]\div p$

2. Для всякого $p=4k+1$ - простого, существует сумма квадратов $(a^2+1)\div p$.

[Руст]

Если $x=(\frac{p-1}{2})!$, то по теореме Вильсона [math]$(-1)^{(p-1)/2}x^2=-1\mod p\to x=\pm 1\mod p$.
2. $a=x$ из первого.

[age]

Руст
Не совсем пойму, т.е. если $x=(\frac{p-1}{2})!$, то по теореме Вильсона $(-1)^xx^2=-1\mod p$

Вообще-то теорема Вильсона: если $p$ - простое, то $(p-1)!\equiv-1\mod p$, причем для любых $p$, необязательно $p=4k-1>3$.

[Mathusic]

age, поясните. В первом задании сравнение должно быть выполнено либо с плюсом, либо минусом?

[age]

Mathusic
Да.

[Cave]

age в сообщении #329539 писал(а):

Руст
Не совсем пойму, т.е. если $x=(\frac{p-1}{2})!$, то по теореме Вильсона $(-1)^xx^2=-1\mod p$

Да, так как $(p-1)! = x! \cdot \frac {p+1} 2 \ldots (p-1) \equiv x! \cdot (-\frac {p - 1} 2) \ldots (-1) = (-1)^x x^2 \pmod p$.

[Mathusic]

Cave в сообщении #329627 писал(а):

Да, так как $(p-1)! = x! \cdot \frac {p+1} 2 \ldots (p-1) \equiv x! \cdot (-\frac {p - 1} 2) \ldots (-1) = (-1)^x x^2 \pmod p$.

Точнее $(p-1)! = x \cdot \frac {p+1} 2 \ldots (p-1) \equiv x \cdot (-\frac {p - 1} 2) \ldots (-1) = (-1)^{\frac{p-1}2} x^2 \pmod p$, если уж у вас $x$ - это искомый факториал.

P.s. Из ТВ следует и несколько более общее утверждение: $\prod_{x=1}^m{x^2}\equiv(-1)^{m+1}\pmod p.$
Отсюда тоже всё сразу следует.

[Mathusic]

Руст в сообщении #329535 писал(а):

2. $a=x$ из первого.

Не подходит.

Решение второго задания как раз даёт сравнение $a^2=\prod_{x=1}^{\frac{p-1}2}{x^2}\equiv -1\pmod p.$

[Руст]

Mathusic в сообщении #329824 писал(а):

Руст в сообщении #329535 писал(а):

2. $a=x$ из первого.

Не подходит.

Решение второго задания как раз даёт сравнение $a^2=\prod_{x=1}^{\frac{p-1}2}{x^2}\equiv -1\pmod p.$

Смотрите, я обозначал

$$x=(\frac{p-1}{2})!$$

соответственно

$$p|x^2+(-1)^{(p-1)/2}.$$

[Mathusic]

Да, верно. Тоже самое, что у меня. Немного недопонял вас.
ЗЫ: равенство $\prod_{x=1}^m{x^2}\equiv(-1)^{m+1}\pmod p$ считать верным при $m=\frac{p-1}2$