2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Свойства факториала
Сообщение09.06.2010, 20:55 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
1. Доказать, если $p=4k-1$ - простое, $p>3$, то $\left[\left(\dfrac{p-1}{2}\right)!\pm1\right]\div p$

2. Для всякого $p=4k+1$ - простого, существует сумма квадратов $(a^2+1)\div p$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойства факториала
Сообщение09.06.2010, 21:02 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Если $x=(\frac{p-1}{2})!$, то по теореме Вильсона [math]$(-1)^{(p-1)/2}x^2=-1\mod p\to x=\pm 1\mod p$.
2. $a=x$ из первого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойства факториала
Сообщение09.06.2010, 21:10 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Руст
Не совсем пойму, т.е. если $x=(\frac{p-1}{2})!$, то по теореме Вильсона $(-1)^xx^2=-1\mod p$ :?:

Вообще-то теорема Вильсона: если $p$ - простое, то $(p-1)!\equiv-1\mod p$, причем для любых $p$, необязательно $p=4k-1>3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойства факториала
Сообщение09.06.2010, 22:56 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
age, поясните. В первом задании сравнение должно быть выполнено либо с плюсом, либо минусом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойства факториала
Сообщение09.06.2010, 23:40 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Mathusic
Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойства факториала
Сообщение10.06.2010, 00:30 


02/07/08
322
age в сообщении #329539 писал(а):
Руст
Не совсем пойму, т.е. если $x=(\frac{p-1}{2})!$, то по теореме Вильсона $(-1)^xx^2=-1\mod p$ :?:


Да, так как $(p-1)! = x! \cdot \frac {p+1} 2 \ldots (p-1) \equiv x! \cdot (-\frac {p - 1} 2) \ldots (-1) = (-1)^x x^2 \pmod p$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойства факториала
Сообщение10.06.2010, 12:47 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
Cave в сообщении #329627 писал(а):
Да, так как $(p-1)! = x! \cdot \frac {p+1} 2 \ldots (p-1) \equiv x! \cdot (-\frac {p - 1} 2) \ldots (-1) = (-1)^x x^2 \pmod p$.

Точнее $(p-1)! = x \cdot \frac {p+1} 2 \ldots (p-1) \equiv x \cdot (-\frac {p - 1} 2) \ldots (-1) = (-1)^{\frac{p-1}2} x^2 \pmod p$, если уж у вас $x$ - это искомый факториал.

P.s. Из ТВ следует и несколько более общее утверждение: $\prod_{x=1}^m{x^2}\equiv(-1)^{m+1}\pmod p.$
Отсюда тоже всё сразу следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойства факториала
Сообщение10.06.2010, 15:51 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
Руст в сообщении #329535 писал(а):
2. $a=x$ из первого.

Не подходит.

Решение второго задания как раз даёт сравнение $a^2=\prod_{x=1}^{\frac{p-1}2}{x^2}\equiv -1\pmod p.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойства факториала
Сообщение10.06.2010, 20:27 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Mathusic в сообщении #329824 писал(а):
Руст в сообщении #329535 писал(а):
2. $a=x$ из первого.

Не подходит.

Решение второго задания как раз даёт сравнение $a^2=\prod_{x=1}^{\frac{p-1}2}{x^2}\equiv -1\pmod p.$

Смотрите, я обозначал $$x=(\frac{p-1}{2})!$$
соответственно $$p|x^2+(-1)^{(p-1)/2}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойства факториала
Сообщение10.06.2010, 20:51 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
Да, верно. Тоже самое, что у меня. Немного недопонял вас.
ЗЫ: равенство $\prod_{x=1}^m{x^2}\equiv(-1)^{m+1}\pmod p$ считать верным при $m=\frac{p-1}2$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group