3 задачки из "Физики в задачах" Г.В. Меледина.

[truth]

Здравствуйте. По ходу разбора некоторых задачек возникли вопросы, буду рад любой помощи.
1) Условие. Какое расстояние по горизонтали пролетит мяч, брошенный со скоростью $v$ под углом $\alpha$ к горизонту, если он ударился о потолок? Высота потолка $h$, удар упругий. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение. Составляется уравнение движение мяча в проекции на вертикальную ось : $h=v\sin{\alpha}t-\frac{gt^2}{2}$. Далее решают уравнение относительно $t$, перед дискриминантом берут знак "-" и пояснение: "Знак "+" отброшен, так как он даёт время "полёта" по траектории, не имеющей излома."
Вопрос. Почему "+" "даёт время "полёта" по траектории, не имеющей излома." ?

-- Пн июн 07, 2010 17:55:07 --

2) Под каким наименьшим углом к горизонту следует бросать мяч, чтобы он пролетел сквозь баскетбольное кольцо сверху, не ударившись о него? Радиус мяча $r$, радиус кольца $R$, Высота его над полом $H$. Баскетболист бросает мяч с высоты $h$, находясь на расстоянии $l$ от кольца, считая от горизонтали. Изменением скорости мяча за время полёта через кольцо пренебречь.
Решение. Пусть $\alpha$ - искомый угол. Вводится угол $\beta$, так что $\sin{\beta}=\frac{r}{R}$.
Вопрос. Здесь горизонтальная скорость мяча определяется как $v_x=v_0\cos{\alpha}$, затем неожиданно: $\ctg{\beta}=-\frac{v_y}{v_x}$. Я думаю, что правильнее будет $\tg{\beta}=\frac{v_y}{v_x}$. И зачем вводить угол $\beta$ , если то же самое можно сделать с $\alpha$, или это не так?

3)Задачка про зависший на широте Москвы спутник. Здесь силу гравитационного притяжения Земли, действующей на спутник на рассатоянии $r=h+r_З$ выражают так $F_g = mg\frac{{r_З}^2}{r^2}$, где $m$ - масса спутника. Как получить эту формулу? Можно использовать такую: $F=mG\frac{M_З}{r^2}$?

[PapaKarlo]

truth в сообщении #328713 писал(а):

Почему "+" "даёт время "полёта" по траектории, не имеющей излома." ?

Поскольку удар абсолютно упругий, после удара просто изменяется знак вертикальной проекции скорости. Если Вы нарисуете рисунок, то увидите, что излом приводит к тому, что часть траектории после удара симметрична той части, которая была бы при отсутствии потолка (удара, соответственно, излома траектории). Мяч отражается от потолка, как луч света от зеркала.

truth в сообщении #328713 писал(а):

2) Под каким наименьшим углом к горизонту следует бросать мяч, чтобы он пролетел сквозь баскетбольное кольцо сверху, не ударившись о него? Радиус мяча $r$, радиус кольца $R$, Высота его над полом $H$. Баскетболист бросает мяч с высоты $h$, находясь на расстоянии $l$ от кольца, считая от горизонтали. Изменением скорости мяча за время полёта через кольцо пренебречь.
Решение. Пусть $\alpha$ - искомый угол. Вводится угол $\beta$, так что $\sin{\beta}=\frac{r}{R}$.
Вопрос. Здесь горизонтальная скорость мяча определяется как $v_x=v_0\cos{\alpha}$, затем неожиданно: $\ctg{\beta}=-\frac{v_y}{v_x}$. Я думаю, что правильнее будет $\tg{\beta}=\frac{v_y}{v_x}$. И зачем вводить угол $\beta$ , если то же самое можно сделать с $\alpha$, или это не так?

Угол, под которым направлена к горизонту скорость мяча при пролете через кольцо, не обязательно равен (по модулю) углу бросания, т.е. необязательно $|\alpha|=|\beta|$. Выражение угла $\beta$ через $r$ и $R$ можно получить с учетом условия "изменением скорости мяча за время полёта через кольцо пренебречь", если нарисовать траекторию мяча при условии касания его двух противоположных точек кольца - первой сверху, второй - снизу. Выражение этого угла через проекции скорости мяча, которую тот имеет в момент пролета кольца (но не в момент бросания, когда $v_{0x}=v_0\cos{\alpha}$!) будет $\tg{\beta}=-\frac{v_y}{v_x}$ - знак важен.

truth в сообщении #328713 писал(а):

Здесь силу гравитационного притяжения Земли, действующей на спутник на рассатоянии $r=h+r_З$ выражают так $F_g = mg\frac{{r_З}^2}{r^2}$, где $m$ - масса спутника. Как получить эту формулу? Можно использовать такую: $F=mG\frac{M_З}{r^2}$?

Можно использовать. Подставьте в нее вместо $r$ выражения $r_3$ и $r_3+h$, а заодно определите, чему равно ускорение свободного падения на разных высотах, и соотнесите с той величиной, что обозначена у Вас как $g$.

(Оффтоп)

Проверяйте текст сообщения, формулы выглядят не так, как Вы планировали.

[truth]

Цитата:

Поскольку удар абсолютно упругий, после удара просто изменяется знак вертикальной проекции скорости

Понятно, но со знаком перед дискриминантом я это связать не могу.

Цитата:

Выражение этого угла через проекции скорости мяча... будет $\tg{\beta}=-\frac{v_y}{v_x}$- знак важен.

Значит всё-таки тангенс там. А почему минус, вроде обычный прямоугольный треугольник - противолежащий $v_y$, прилежащий $v_x$...

3) Понятно.

Извиняюсь за формулы.

[PapaKarlo]

PapaKarlo в сообщении #329227 писал(а):

часть траектории после удара симметрична той части, которая была бы при отсутствии потолка

Тут один добрый человек обратил мое внимание, что в процитированном тексте ошибка. truth, прошу прощения. Конечно же, симметричными будут части траектории до удара и после удара о потолок. Движение мяча от точки, соответствующей точке удара:

1) в случае отсутствия потолка можно рассматривать как движение из этой точки с некоторой начальной скорстью, имеющей проекции $v_x,\,v_y$;

2) при наличии потолка - как движение из этой же точки с начальной скорстью, имеющей проекции $v_x,\,-v_y$;

А движение до этой точки от наличия/отсутствия потолка не зависит, поэтому найти $v_x,\,-v_y$ в этой точке просто.

Что касается дискриминанта, то поскольку я задачу не решал , подсказать детали не могу. Приведите Ваше решение, будем разбираться.

[truth]

Цитата:

часть траектории после удара симметрична той части, которая была бы при отсутствии потолка
Тут один добрый человек обратил мое внимание, что в процитированном тексте ошибка.

Если честно, то я бегло пробежал по этой части, т. к. рисунок был приведён в книге и я Вас понял


Собственно, это решение автора книги - я просто пытаюсь разобраться.
Условие и рабочее уравнение приведены в первом сообщении. В самом уравнении всё понятно, решаем как квадратное относительно $t$, получаем:

$$t=\frac{v\sin{\alpha}}{g} - ((\frac{v\sin{\alpha}}{g})^2 - \frac{2h}{g})^\frac{1}{2}$$

.
Дальше подставляют удвоенное время (время полёта) в расстояние пройденное мячом по горизонтали, равное: $l=v_x2t$.