Многомерные расширения ТФКП

[Time]

STilda в сообщении #328907 писал(а):

Нет, не научились. Потому то и спрашиваю как Time вводит возведение в степени. Боюсь будут те же проблемы и для поличисел.

Выше я показал как осуществляется возведение в гиперкомплексную степень поличисел, в конструкции которых нет комплексных алгебр, только n вещественных. В геометрическом плане им соответствуют линейные финслеровы пространства с n-арными фундаментальными метрическими формами. Функция логарифма, как и любая другая аналитическая (вернее, $h$-аналитическая) функция тут, если и имеет проблемы, то в точности такие же, как и на множестве действительных чисел. В частности, это алгебраически не замкнутое множество, которое может стать замкнутым, если перейти к комплексному их расширению. Таких проблем как Вами отмечены с кватернионами тут не существуют, так как эти алгебры коммутативно-ассоциативны.

[Scholium]

STilda писал(а):

Scholium писал(а):

Ну, так эта проблема идет еще от комплексных чисел, но там с этой проблемой научились бороться.

Нет, не научились. Потому то и спрашиваю как Time вводит возведение в степени. Боюсь будут те же проблемы и для поличисел. (http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation Failure of power and logarithm identities)

Когда я изучал ТФКП, то у меня такого ощущения не возникло. Там вполне корректно вводятся многозначные отображения и без всяких проблем работают с ними.

[STilda]

Time в сообщении #328634 писал(а):

На множествах поличисел размерности n>2, кроме -аналитических функций есть место для существенно более интересных функций. Мы их пока называем обобщенно аналитическими. Их появление связано с тем, что геометрия соответствующих пространств не квадратичная, а n-арная финслерова. Отсюда кроме длин и углов появляются более сложные метрические инварианты, характеризующие меры фигур состоящих из трех и более векторов, которых не было в обычных геометриях со скалярным произведением. Иными словами, анализом на поличислах дело не ограничивается, а появляется, если можно так выразиться, суперанализ.

Я занимаюсь распознаванием образов и это тема меня очень даже интересует. А именно появление принципиально новых мер фигур. У вас есть наглядный пример, наподобие такого: вот картинка, вот мы ее искажаем, при этих искажениях такой-то метрический инвариант сохраняется?

[Time]

STilda в сообщении #328995 писал(а):

Я занимаюсь распознаванием образов и это тема меня очень даже интересует. А именно появление принципиально новых мер фигур. У вас есть наглядный пример, наподобие такого: вот картинка, вот мы ее искажаем, при этих искажениях такой-то метрический инвариант сохраняется?

Да, такие примеры есть. Лет семь назад мы пробовали строить аналоги фрактальных множеств Жюлиа в четырехмерном пространстве-времени с метрикой Бервальда-Моора (на четверных поличислах, являющихся прямой суммой четырех действительных алгебр). Это были, конечно, тыкания пальцем в небо, но кое что интересное, все равно, получалось. Представленные ниже картинки можно рассматривать как деформации финслеровой трехмерной сферы (она представляет собой 16-полостный гиперболоид) в четырехмерном пространстве-времени Бервальда-Моора. В качестве инвариантов многоитерационных деформаций этой финслеровой сферы выступали различные полиуглы, начиная с обычного (гиперболического) угла, только за давностью лет я уже не припомню, где что бралось. Визуализация итоговой трехмерной фрактальной гиперповерхности осуществлялась путем построения ее сечений трехмерными гиперплоскостями, финслеровоортогональными оси времени, ну а далее мы действовали стандартными методами, заимствованными нашими программистами из аналогичной программы визуализации четырехмерных фракталов на кватернионах. Естественно, что при этом некоммутативную алгебру кватернионов мы заменили на коммутативно-ассоциативную алгебру четверных поличисел.
Вот эти несколько примеров:
http://content.foto.mail.ru/mail/geom2004/1/i-23.jpg
http://content.foto.mail.ru/mail/geom2004/1/i-24.jpg
http://content.foto.mail.ru/mail/geom2004/1/i-25.jpg
http://content.foto.mail.ru/mail/geom2004/1/i-26.jpg
Особенно мне нравится последняя картинка. Жаль, что мы тогда не додумались смастерить из этого последнего примера мультик, беря последовательно сечения близко расположенными гиперплоскостями и не посмотрели как будет выглядеть эта картинка в динамике. Сейчас уже поздно. Те программы можно считать приказавшими долго жить и проще написать новые.. Если договоримся, можем попробовать делать это вместе.
Продолжать идти путем тыкания пальцем в небо мы тогда не захотели и не смогли. Решили попробовать разобраться, что называется от и до. Быстро, к сожалению, не получается. Вот уже несколько лет ковыряемся с двумерными гиперболическими аналогами множеств Жюлиа на псевдоенвклидовой плоскости и только недавно кое что стало получаться. В ближайшее время планируем перейти к трехмерным фракталам на тройных поличислах. На них впервые появляются в качестве инвариантов, кроме длин и углов, полиуглы, причем самые простые (мы их назвали тринглами, так как они связаны с мерами фигур из трех векторов), да и визуализировать фракталы в таком пространстве на много сподручнее. Если хотите попробовать присоединиться - будем рады сотрудничеству, но для этого было бы наверное правильно сперва познакомиться чуть поближе. Вы живете далеко от Москвы? А то можно пересечься и договориться о том, как это сотрудничество могло бы выглядеть..

[STilda]

А что показано цветом на картинках?
Первые три выглядят поверхностями а на четвертой трехмерные тела. Или как?
Почему вам особенно нравится последняя картинка? В чем особенность?

Просматриваю одну из книжек, ссылку на которую вы давали. Там написано что скалярное произведение исторически обнаружилось через произведение кватернионов. Это действительно правда?

-- Вт июн 08, 2010 14:02:14 --

Сотрудничество возможно, пока что я пытаюсь понять чем вы занимаетесь и как оно перекликается с моими интересами. Живу я в Киеве.

-- Вт июн 08, 2010 14:07:20 --

Если поставить вот такую практическую задачку. Художники умеют рисовать карикатуры, например лица. Искажения серьезные а все равно человек узнается. Может ли эта "похожесть" описываться новыми метрическими инвариантами, которые вы изучаете? (Для классического анализа, распознавание карикатуры - нереальная задача.)

[Time]

STilda в сообщении #329058 писал(а):

А что показано цветом на картинках?

Если честно - не помню. Я был далек от непосредственного программирования. Кажется, цвета означали примерно то же самое, что и на комплексных множествах Жюлиа - зоны разной скорости убегания плавающей точки. Но это не точно.

STilda в сообщении #329058 писал(а):

Первые три выглядят поверхностями а на четвертой трехмерные тела. Или как?

Вообще-то, как поверхности выглядят только первые две картинки. Третья, это отдельные точки, типа пыли. Просто видно плохо. А четвертая действительно включает отдельные тела.

STilda в сообщении #329058 писал(а):

Почему вам особенно нравится последняя картинка? В чем особенность?

Кому как, а мне на ней видится упрощенный образ живого существа. Лапки, голова, хвост.. Естественно, я далек от прямых аналогий, но все же..

STilda в сообщении #329058 писал(а):

Просматриваю одну из книжек, ссылку на которую вы давали. Там написано что скалярное произведение исторически обнаружилось через произведение кватернионов. Это действительно правда?

Да, и автор этого понятия, как и понятия векторного произведения никто иной, как отец кватернионов Уильям Роуэн Гамильтон. Термин тензор также он предложил и именно в связи с кватернионами. Сейчас, правда, сам термин сохранился, но с существенно иным смыслом. После смерти Гамильтона была целая битва между его последователями и родоначальниками векторного исчисления - господами Гиибсом и Хэвисайдом за то как использовать скалярное произведение, внутри полного кватернионного произведения, или как самостоятельное понятие, в которой последние одержали временную победу (я думаю, что окончательные аргументы в этой битве еще не приведены, особденно в связи с другими гиперчислами типа поличисел :)) и о гиперкомплексных числах на сотню лет позабыли..

STilda в сообщении #329058 писал(а):

Сотрудничество возможно, пока что я пытаюсь понять чем вы занимаетесь и как оно перекликается с моими интересами. Живу я в Киеве.

Ну, это не так уж и далеко. Как говорится, было бы желание и необходимость.. Давайте немного попереписываемся, а там видно будет Вы к нам, или мы к Вам.. :)

STilda в сообщении #329058 писал(а):

Если поставить вот такую практическую задачку. Художники умеют рисовать карикатуры, например лица. Искажения серьезные а все равно человек узнается. Может ли эта "похожесть" описываться новыми метрическими инвариантами, которые вы изучаете? (Для классического анализа, распознавание карикатуры - нереальная задача.)

Тут я пас. :( И хотя в глубине души думаю, что весь окружающий нас Мир порождение этих самых полиугловых инвариантов, что бы применить их вот так конкретно в распознавании карикатур - даже и не знаю с какой стороны подходить. Мне кажется даже более понятной задача, как найти такие отображения, при которых исходная финслерова сфера приобретает черты реального или карикатурного человеческого лица. Хотя до такой степени владения предметом, уверен, еще очень далеко..

[STilda]

Ускользает от меня то, как вы сопоставляете геометрию и алгебру поличисел? На сколько я вижу вы сопоставляете некоторую полинорму вектора (геометрия) и модуль поличисла (алгебра). Это все или еще какието условия?

[Scholium]

STilda писал(а):

Если поставить вот такую практическую задачку. Художники умеют рисовать карикатуры, например лица. Искажения серьезные а все равно человек узнается. Может ли эта "похожесть" описываться новыми метрическими инвариантами, которые вы изучаете? (Для классического анализа, распознавание карикатуры - нереальная задача.)

У Вас очень амбициозные задачи! Эта проблема уровня ИИ – искусственного интеллекта, никак не меньше. Проще посадить десяток студентов, которые бы распознавали карикатуры вручную – будет на порядки и дешевле и эффективнее .

[Time]

STilda в сообщении #329156 писал(а):

Ускользает от меня то, как вы сопоставляете геометрию и алгебру поличисел? На сколько я вижу вы сопоставляете некоторую полинорму вектора (геометрия) и модуль поличисла (алгебра). Это все или еще какието условия?

Это только следствие. Более фундаментальным является подход через обобщение скалярного произведения с билинейной симметрической формы двух векторов, при помощи которой задаются обычные квадратичные геометрии, на полилинейную симметрическую форму от $n$ векторов, то есть на скалярное полипроизведение. Из последнего понятия полинормы получаются примерно также как квадратичные формы из обычного скалярного произведения. Об этом есть в давнишней статье:

http://hypercomplex.xpsweb.com/page.php?lang=ru&id=150

Из такого обобщения скалярного произведения на скалярное полипроизведение, в общем-то, как раз и следует, что в соответствующих финслеровых линейных пространствах, кроме длин (когда в скалярное полипроизведение подставляются компоненты лишь одного вектора) и финслеровых углов (когда в скалярном полипроизведении фигурируют пара единичных векторов) появляются полиуглы (когда в скалярном произведении рассматриваются более двух векторов нормированных по длине, углам и полиуглам низших рангов).

[STilda]

Scholium в сообщении #329180 писал(а):

У Вас очень амбициозные задачи! Эта проблема уровня ИИ – искусственного интеллекта, никак не меньше.

:-). Задачи выбираю так чтоб не было возможности "юлить", как сей час юлят с распознаванием, мол распознаем с вероятностью 70 процентов. На них хорошо проверяется есть ли что-то новое или все по прежнему тоже самое только в другой комбинации.

Time
Вот что подумалось. Например, вы вводите тройное скалярное произведение. Оно рождает понятие ортогональности тройки векторов (если равно нулю). Это же меняет понятия базиса векторов, разложения по базису. Ведь коэффициенты разложения раньше вычислялись через бинарное скалярное произведение. В алгебраической интерпретации получаем вместо бинарных делителей нуля, тройные делители нуля, когда произведение только трех ненулевых чисел дает ноль. Вы рассматривали такие темы?

[Scholium]

STilda писал(а):

:-). Задачи выбираю так чтоб не было возможности "юлить", как сей час юлят с распознаванием, мол распознаем с вероятностью 70 процентов. На них хорошо проверяется есть ли что-то новое или все по прежнему тоже самое только в другой комбинации.

Выбрать сверхсложную задачу не проблема. Но есть ли у Вас потенциал для ее решения? Вот еще одна амбициозная задача – создать прибор, считывающий информацию с фонового излучения частотой $10^{24}$ герц и выше (современной физике доступны частоты жесткого гамма излучения порядка $10^{16}$ герц). Есть гипотеза, что на этих частотах модулируется информация о прошлых состояниях вселенной. Т.е. научитесь «читать» это излучение, получите доступ к виртуальной машине времени .

[Time]

STilda в сообщении #329232 писал(а):

Например, вы вводите тройное скалярное произведение. Оно рождает понятие ортогональности тройки векторов (если равно нулю). Это же меняет понятия базиса векторов, разложения по базису. Ведь коэффициенты разложения раньше вычислялись через бинарное скалярное произведение. В алгебраической интерпретации получаем вместо бинарных делителей нуля, тройные делители нуля, когда произведение только трех ненулевых чисел дает ноль. Вы рассматривали такие темы?

Самого понятия базиса наше нововведение не меняет, ведь и обычное скалярное произведение, и скалярное полипроизведение вводится НАД акcиомами линейного пространства, из которых базис как понятие следует еще до введения метрических свойств. Вот понятие ортогонального или какого другого базиса при этом затрагивается. Если в геометрии задаваемой обычным скалярным произведением можно было говорить об ортогональности только пар векторов и к тому же такое свойство было коммутативно, то теперь "ортогональность" пары векторов может быть некоммутативной, но кроме парной может рассматриваться и "тройственная ортогональность". Собственно, рассмотренный Вами выше случай равенства нулю скалярного полипроизведения тройки различных векторов дает нам основание говорить о каноническом триугле (мы называем такую величину тринглом) типа обычного прямого угла, только теперь эта величина характеризует меру фигуры из трех векторов. Такие особенности мы рассматривали, но вполне допускаю, что затронули не все аспекты. Кое что можно найти, например, вот в этой статье:

http://hypercomplex.xpsweb.com/page.php?lang=ru&id=357

Разложению по базису наше полипроизведение не мешает. Компоненты вектора по-прежнему можно находить, только немного иначе, чем при помощи скалярного произведения.

На счет тройственных делителей нуля мне кажется говорить немного преждевременно. Скалярное трипроизведение это еще не полноценная тернарная операция, а в лучшем случае ее кусок, точно также как и скалярное произведение двух векторов псевдоевклидовой плоскости еще не само их произведение. Делители нуля появляются именно из "полного" произведения. Поэтому появление $n$-арных делителей нуля вероятно логично, но должно рассматриваться в обобщениях алгбр на $n$-алгебры, то есть, когда бинарные операции заменяются на $n$-арные. Мы этого аспекта касались, но крайне мало. Тут бы с обычными бинарными умножениями по максимуму разобраться..

Разрешите и к Вам пару вопросов.
Вам приходилось работать с программами, использующими 3D грфику?
Строили ли Вы сами многомерные фракталы? Или задача распознавания образов пока не требует этих приемов?

[STilda]

Time в сообщении #329274 писал(а):

Разрешите и к Вам пару вопросов.Вам приходилось работать с программами, использующими 3D грфику?Строили ли Вы сами многомерные фракталы? Или задача распознавания образов пока не требует этих приемов?

Приходилось не то слово . Постоянно их использую и пишу. (но не 3DMax и его подобия).
Многомерные фракталы сам не строил.
О себе могу добавить что занимаюсь поиском тех новых возможностей которые появляются в новых числах. Вот сей час почучуть делаем нейросеть на гиперкомплексных числах, поэксперементируем. Еще начал пробовать обработку изображений и речевых сигналов с их привлечением. Основная цель - получить наглядные примеры когда в системе чисел Х можно сделать то, что нельзя сделать в системе чисел У. По образованию математик-программист. Работаю программистом математически ориентированных задач. Исследованиями занимаюсь в свободное время.

[Time]

STilda в сообщении #329309 писал(а):

О себе могу добавить что занимаюсь поиском тех новых возможностей которые появляются в новых числах. Вот сей час почучуть делаем нейросеть на гиперкомплексных числах, поэксперементируем. Еще начал пробовать обработку изображений и речевых сигналов с их привлечением. Основная цель - получить наглядные примеры когда в системе чисел Х можно сделать то, что нельзя сделать в системе чисел У.

А как смотрите на то, что бы познакомиться поближе не только с алгебрами поличисел, но и с тесно связанными с ними финслеровыми линейными пространствами? У нас в Подмосковье третий год подряд проходит школа-семинар по основам финслеровой геометрии. В этом году она начинается 12 июля и будет по 14 августа. В материальном плане это может ровным счетом ничего не стоить, даже включая дорогу и проживание. Зато есть хороший шанс "въехать" в тему и пообщаться с людьми, всю жизнь посвятившими профессиональному изучению финслеровых пространств.
Аналогичное предложение к каждому, кто мог бы заинтересоваться данным вариантом.. Месяц на природе, озеро, лес, воздух, рыбалка и немного лекций. На мой взгляд, кого-то это все может заинтересовать. При необходимости можно приехать и на меньший срок..

[STilda]

Спасибо за предложение посетить ваши семинары но пока что нет мотивов, да и работа и семья держат. Но через интернет общаться можно. Вы гдето оставляли email адрес?
"Финслеровы пространства" пока для меня неизвестны, даже понятие это не знаю. Я стремлюсь не углублятся в теорию, не выходить за рамки "понятно на пальцах".