Связные, непрерывный, теории меры

[Solunac]

Пусть, что $f:$ Х $\to$ $\mathbb{C}$ измеримое, а $(X, \mathfrak{M},\mu)$ пространстве с мерой, и пусть $\phi$(р) $= \int_X |f|^p d\mu$, $0<$ р $<+\infty$. Пусть этот $E = E (f) =$ (р>0: $\phi$(р) $<+\infty)$, и $|| f ||_\infty> 0$. Доказать:
(а) Е связное подмножество интервала $(0, +\infty)$
(б) $log ~\phi$ выпуклая функция на Е, а $\phi$ непрерывна на Е.

Я знаю, как доказать первые, (а), в случае когда $\mu$(X)$<\infty$, но я не знаю, как это доказать в случае, когда $\mu$(X)$= \infty$.
В случае (б), я доказал, что $log ~\phi$ является выпуклой функцией, но вторая часть ($\phi$ непрерывна), я это не доказал.

Спасибо за помощь.
(Извините за ошибки в моем русском языке.)

[id]

Maybe you should imply that the measure $\mu$ is $\sigma$-finite, i.e. $X = \bigsqcup\limits_{i=1}^{\infty} X_i$, where $\forall i \ \mu(X_i)<\infty$ (and sets $X_i, X_j$ are disjoint when $i \neq j$)? If so, you can rewrite $\int\limits_X |f|^p d\mu$ when it is finite as $\sum\limits_{i=1}^{\infty} \int\limits_{X_i} |f|^p d\mu$ and attempt to use the results you've already obtained.

[terminator-II]

Solunac в сообщении #329009 писал(а):

Е связное подмножество интервала $(0, +\infty)$

это следует из соображений интерполяции (и все остальное вроде тоже )
$0<p<q<r\le\infty$
$\psi(p)$ -- $L^p$-норма функции

$$\psi(q)\le\psi^{\lambda}(p)\psi^{1-\lambda}(r),\quad \lambda\in (0,1)$$

$$\frac{1}{q}=\frac{\lambda}{p}+\frac{1-\lambda}{r}$$

и еще: всякая выпуклая на отурытом множестве функция непрерывна

[Solunac]

Hi! Thanks very much.;))

I proved the (a) case. In the case (b) I proved the implication when set $E$ is open set. Than $log \phi$ is convex, and by the composition of $exp$ function (which is continuous) and $log \phi$, we get that $\phi$ is continuous function. The problem, that is left for me to solve is, the subcase, when set $E$ is not open (it can be compact).

How to prove that $log \phi$ is continuous at the endpoints of the segment $E$? Maybe I should use some of the theorems of monotonic, or dominant convergence, but I don't know how.