Полное описание двух бернуллиевских величин тремя числами?

[G^a]

Здравствуйте, Dims!

Dims писал(а):

Произведением векторов называется вектор, описывающий одновременное наступление двух или большего количества событий.

А какой смысл Вы придадите сумме векторов?

[Someone]

Dims писал(а):

Вопрос: существует ли такая какая-нибудь векторная модель теорвера?

Векторной модели всей теории вероятностей нет, но есть занятные параллели. Например, на фиксированном вероятностном пространстве рассмотрим множество случайных величин с нулевым математическим ожиданием и конечной дисперсией. Эти случайные величины (точнее, конечно, классы эквивалентности, а эквивалентными считаем случайные величины, значения которых совпадают с вероятностью 1) образуют линейное пространство, в котором в качестве скалярного произведения можно взять ковариацию (в рассматриваемом случае - математическое ожидание произведения случайных величин). Тогда норма - это среднее квадратичное отклонение, коэффициент корреляции - это косинус угла между векторами. Ортогональность означает некоррелированность, а не независимость.

[Dims]

G^a писал(а):

Dims писал(а):

Произведением векторов называется вектор, описывающий одновременное наступление двух или большего количества событий.

А какой смысл Вы придадите сумме векторов?

Я? Никакого. Но было бы круто, если бы ей соответствовало бы "или".

[Dims]

Someone писал(а):

Например, на фиксированном вероятностном пространстве

Упс. А что у нас называется этим термином?

Цитата:

рассмотрим множество случайных величин с нулевым математическим ожиданием и конечной дисперсией.

Дисперсией, одинаковой для всех?

Цитата:

Эти случайные величины (точнее, конечно, классы эквивалентности, а эквивалентными считаем случайные величины, значения которых совпадают с вероятностью 1)

Упс. Это замечание мне ничё не говорит :>

Цитата:

образуют линейное пространство, в котором в качестве скалярного произведения можно взять ковариацию (в рассматриваемом случае - математическое ожидание произведения случайных величин).

Но для линейного пространства в первую очередь должны быть оперделены сумма и умножение на число. Что у нас тут ими является?

Цитата:

Ортогональность означает некоррелированность, а не независимость.

А в чём отличие?

[Someone]

Dims писал(а):

Someone писал(а):

Например, на фиксированном вероятностном пространстве

Упс. А что у нас называется этим термином?

Упорядоченный набор $(\Omega,\mathcal F,\mathrm P)$, где $\Omega$ - множество элементарных исходов, $\mathcal F$ - $\sigma$-алгебра событий (подмножеств множества $\Omega$), $\mathrm P$ - вероятность, то есть, просто ($\sigma$-аддитивная) мера, определённая на $\sigma$-алгебре $\mathcal F$. Подробнее можно посмотреть в учебнике по теории вероятностей, например, Боровкова или ещё каком-нибудь.

Случайная величина - это функция $\xi\colon\Omega\to\mathbb R$.

Dims писал(а):

Цитата:

рассмотрим множество случайных величин с нулевым математическим ожиданием и конечной дисперсией.

Дисперсией, одинаковой для всех?

Нет, у каждой своя. Но конечная.

Dims писал(а):

Цитата:

Эти случайные величины (точнее, конечно, классы эквивалентности, а эквивалентными считаем случайные величины, значения которых совпадают с вероятностью 1)

Упс. Это замечание мне ничё не говорит :>

Пока на это не обращайте внимание. Это то же самое, что эквивалентность измеримых функций: две измеримых функции эквивалентны, если мера множества точек, где они не совпадают, равна нулю.

Dims писал(а):

Цитата:

образуют линейное пространство, в котором в качестве скалярного произведения можно взять ковариацию (в рассматриваемом случае - математическое ожидание произведения случайных величин).

Но для линейного пространства в первую очередь должны быть оперделены сумма и умножение на число. Что у нас тут ими является?

Поскольку случайные величины - это функции, то имеется в виду обычное сложение функций и умножение функции на число (с поправкой на эквивалентность, если подходить строго).

Dims писал(а):

Цитата:

Ортогональность означает некоррелированность, а не независимость.

А в чём отличие?

Некоррелированность случайных величин $\xi$ и $\eta$ означает, что их коэффициент корреляции $\rho(\xi,\eta)=0$, а независимость - что для любых борелевских множеств $A,B\subseteq\mathbb R$ выполняется $\mathrm P(\{\xi\in A\}\cap\{\eta\in B\})=\mathrm P(\{\xi\in A\})\cdot\mathrm P(\{\eta\in B\})$. Второе условие более сильное.

Обычный пример: пусть $\xi$ имеет равномерное распределение на $[-1,1]$, $\eta=\xi^2$. Тогда $\xi$ и $\eta$, очевидно, зависимы, но $\rho(\xi,\eta)=0$.

[G^a]

Добрый день, Dims!

Dims писал(а):

G^a писал(а):

А какой смысл Вы придадите сумме векторов?

Я? Никакого. Но было бы круто, если бы ей соответствовало бы "или".

В том-то и дело, что не получается это.

Dims писал(а):

Допустим, каждое событие обозначается вектором в многомерном пространстве. Длина вектора означает вероятность события или какую-либо однозначную её функцию.

Хорошо, длина вектора - это вероятность события, но чтобы определить норму вектора необходимо ввести метрику в пространстве, и определить компоненты вектора. Сам вектор - это событие, а тогда что такое компоненты вектора?

Причём компоненты должны удовлетворять как минимум двум условиям:

1) Определять событие.

2) Определять через норму вероятность события.

От себя добавлю:

Someone писал(а):

Ортогональность означает некоррелированность, а не независимость.

Коэффициент корреляции может быть равен нулю, а квадрат модуля когерентности - нет, что указывает на наличие нелинейной функциональной связи.