вычисление тензора Римана

[bigarcus]

Здравствуйте!
Возможно, среди Вас есть те, кто 'руками' вычислял тензор кривизны в Общей Теории Относительности.
При моей попытке высчитать компоненты этого тензора возникло расхождение с действительностью (известными ответами). Пробовал случаи различных метрик. Очевидно, что я где-то ошибаюсь с формулой для подсчета. Значения символов Кристоффеля, при этом, мне удалось высчитать правильно.

При расчете тензора Римана (тензора кривизны) пользовался формулой из Ландау (Теория поля, стр. 334, фрмула 92,1):

$R_{iklm}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2 g_{im}}{\partial x^k \partial x^l}+\frac{\partial^2 g_{kl}}{\partial x^i \partial x^m}-\frac{\partial^2 g_{il}}{\partial x^k \partial x^m}-\frac{\partial^2 g_{km}}{\partial x^i \partial x^l}\right)+g_{np}\left(\Gamma_{kl}^{n}\Gamma_{im}^{p}-\Gamma_{km}^{n}\Gamma_{il}^{p}\right)$

$i,k,l,m=0,1,2,3$
Также я не предполагал использование правило Эйнштейна.

1) Верно ли что соглашение Эйнштейна здесь неподразумевается?
2) Не могли бы Вы, пожалуйста, 'расписать' конкретный 'правильный' элемент тензора Римана?

Например, первый элемент тензора я считал образом:
$R_{0000}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2 g_{00}}{\partial x^0 \partial x^0}+\frac{\partial^2 g_{00}}{\partial x^0 \partial x^0}-\frac{\partial^2 g_{00}}{\partial x^0 \partial x^0}-\frac{\partial^2 g_{00}}{\partial x^0 \partial x^0}\right)+g_{00}\left(\Gamma_{00}^{0}\Gamma_{00}^{0}-\Gamma_{00}^{0}\Gamma_{00}^{0}\right)$


Заранее благодарен.

[Александр Т.]

bigarcus в сообщении #328227 писал(а):

При расчете тензора Римана (тензора кривизны) пользовался формулой из Ландау (Теория поля, стр. 334, фрмула 92,1):

$R_{iklm}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2 g_{im}}{\partial x^k \partial x^l}+\frac{\partial^2 g_{kl}}{\partial x^i \partial x^m}-\frac{\partial^2 g_{il}}{\partial x^k \partial x^m}-\frac{\partial^2 g_{km}}{\partial x^i \partial x^l}\right)+g_{np}\left(\Gamma_{kl}^{n}\Gamma_{im}^{p}-\Gamma_{km}^{n}\Gamma_{il}^{p}\right)$

$i,k,l,m=0,1,2,3$
Также я не предполагал использование правило Эйнштейна.

С чего бы это? По умолчанию как раз надо использовать правило (соглашение) Эйнштейна о суммировании.

Цитата:

1) Верно ли что соглашение Эйнштейна здесь неподразумевается?

Нет.

Цитата:

2) Не могли бы Вы, пожалуйста, 'расписать' конкретный 'правильный' элемент тензора Римана?

Например, первый элемент тензора я считал образом:
$R_{0000}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2 g_{00}}{\partial x^0 \partial x^0}+\frac{\partial^2 g_{00}}{\partial x^0 \partial x^0}-\frac{\partial^2 g_{00}}{\partial x^0 \partial x^0}-\frac{\partial^2 g_{00}}{\partial x^0 \partial x^0}\right)+g_{00}\left(\Gamma_{00}^{0}\Gamma_{00}^{0}-\Gamma_{00}^{0}\Gamma_{00}^{0}\right)$

Ну, если нужно просто добросовестно расписать эту компоненту, то это следовало бы сделать так

$$R_{0000} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial^2 g_{00}}{\partial x^0 \partial x^0} + \frac{\partial^2 g_{00}}{\partial x^0 \partial x^0} - \frac{\partial^2 g_{00}}{\partial x^0 \partial x^0} - \frac{\partial^2 g_{00}}{\partial x^0 \partial x^0} \right) + $$ $$ + g_{00} \left( \Gamma_{00}^{0}\Gamma_{00}^{0} - \Gamma_{00}^{0}\Gamma_{00}^{0} \right) + g_{01} \left( \Gamma_{00}^{0}\Gamma_{00}^{1} - \Gamma_{00}^{0}\Gamma_{00}^{1} \right) + g_{02} \left( \Gamma_{00}^{0}\Gamma_{00}^{2} - \Gamma_{00}^{0}\Gamma_{00}^{2} \right) + g_{03} \left( \Gamma_{00}^{0}\Gamma_{00}^{3} - \Gamma_{00}^{0}\Gamma_{00}^{3} \right) + $$ $$ + g_{10} \left( \Gamma_{00}^{1}\Gamma_{00}^{0} - \Gamma_{00}^{1}\Gamma_{00}^{0} \right) + g_{11} \left( \Gamma_{00}^{1}\Gamma_{00}^{1} - \Gamma_{00}^{1}\Gamma_{00}^{1} \right) + g_{12} \left( \Gamma_{00}^{1}\Gamma_{00}^{2} - \Gamma_{00}^{1}\Gamma_{00}^{2} \right) + g_{13} \left( \Gamma_{00}^{1}\Gamma_{00}^{3} - \Gamma_{00}^{1}\Gamma_{00}^{3} \right) + $$ $$ + g_{20} \left( \Gamma_{00}^{2}\Gamma_{00}^{0} - \Gamma_{00}^{2}\Gamma_{00}^{0} \right) + g_{21} \left( \Gamma_{00}^{2}\Gamma_{00}^{1} - \Gamma_{00}^{2}\Gamma_{00}^{1} \right) + g_{22} \left( \Gamma_{00}^{2}\Gamma_{00}^{2} - \Gamma_{00}^{2}\Gamma_{00}^{2} \right) + g_{23} \left( \Gamma_{00}^{3}\Gamma_{00}^{3} - \Gamma_{00}^{3}\Gamma_{00}^{3} \right) + $$ $$ + g_{30} \left( \Gamma_{00}^{3}\Gamma_{00}^{0} - \Gamma_{00}^{3}\Gamma_{00}^{0} \right) + g_{31} \left( \Gamma_{00}^{3}\Gamma_{00}^{1} - \Gamma_{00}^{3}\Gamma_{00}^{1} \right) + g_{32} \left( \Gamma_{00}^{3}\Gamma_{00}^{2} - \Gamma_{00}^{3}\Gamma_{00}^{2} \right) + g_{33} \left( \Gamma_{00}^{3}\Gamma_{00}^{3} - \Gamma_{00}^{3}\Gamma_{00}^{3} \right) , $$

хотя значение именно этой компоненты от добавленных членов не измениться и будет по-прежнему равно нулю.

P.S. Правильность переписывания формулы не проверял.

[bigarcus]

Здравствуйте, Александр!
Большое спасибо за ответ (особенно за добросовестно выписанный элемент)!

Действительно, правило суммирования всё-таки подразумевается (конечно же). Просто как-то громоздко показалось при его использовании - это и смутило.

Можете, пожалуйста, уточнить, что значит "...хотя значение именно этой компоненты от добавленных членов не измениться и будет по-прежнему равно нулю..."
Правильно ли, что значения некоторых элементов тензора Римана не зависят от метрики? Для каких элементов это справедливо?


Вы также пишете, что не проверяли правильность переписывания формулы; а откуда Вы её переписывали? Или Вы имели в виду самостоятельную подстановку индексов при написании ответа?

Заранее спасибо!

[Александр Т.]

bigarcus в сообщении #328928 писал(а):

Можете, пожалуйста, уточнить, что значит "...хотя значение именно этой компоненты от добавленных членов не измениться и будет по-прежнему равно нулю..."

Посмотрите внимательно на выписанное мной выражение. Там везде в скобках стоят разности одинаковых величин.

Цитата:

Правильно ли, что значения некоторых элементов тензора Римана не зависят от метрики? Для каких элементов это справедливо?

Для нулевых элементов. Таких в тензоре Римана много.

Цитата:

Вы также пишете, что не проверяли правильность переписывания формулы; а откуда Вы её переписывали?

Из Вашего сообщения.

Цитата:

Или Вы имели в виду самостоятельную подстановку индексов при написании ответа?

Я имел в виду, что если Вы вдруг ошиблись при переписывании (из "Ландау (Теория поля, стр. 334, фрмула 92,1)" в свое сообщение), то я не виноват.

[bigarcus]

Большое спасибо! Для меня Ваши ответы очень ценны!
А Вы специалист по ОТО?

"...Я имел в виду, что если Вы вдруг ошиблись при переписывании (из "Ландау (Теория поля, стр. 334, фрмула 92,1)" в свое сообщение), то я не виноват..." Какая прелесть!

Известно, что для тензора Римана в общем случае существуют симметрии относительно индексов (случаи равенства между индексами, для которых значения элементов равны). То есть, вообще, тензор Римана $R_{iklm}$ - четырёхкомпанентный (i,k,l,m) тензор, для которого каждый индекс может принимать одно из четырёх значений (0,1,2,3), то есть, тензор Римана имеет $4*4*4*4=256$ элементов, однако, не все из них независимы. А можно ли (может, исходя из метрики) указать, какие из элементов ненулевые, не считая их? Так, для конкретной метрики я знаю, что ненулевых лишь 20 элементов тензора Римана. Как я могу узнать-понять, какие это элементы? Или считать все элементы необходимо?

Очень рад Вашим ответам! Вы существенно помогаете мне продвигаться! Спасибо!

[Александр Т.]

Краткий ответ на вопрос, который

Александр Т. в сообщении #328937 писал(а):

Цитата:

Правильно ли, что значения некоторых элементов тензора Римана не зависят от метрики? Для каких элементов это справедливо?

Для нулевых элементов. Таких в тензоре Римана много.

строго говоря, неправильный.

Правильным будет следующий более развернутый ответ.

Для тех элементов, которые равны нулю вследствии антисимметричности тензора Римана по первому и второму и третьему и четвертому индексам. Таких в тензоре Римана для четырехмерного пространства 112 (если я не ошибся в расчетах). Остальные могут "зависеть от метрики" (поставил кавычки, т.к. об этом термине имеет смысл договориться более детально).

(Оффтоп)

Увидел эту неточность почти сразу после того, как отправил сообщение, но лень было уточнять. Надеялся, что найдется добрый человек, придирется, а я просто соглашусь с его придирками. Но человечество оказалось злее, чем я думал. Поэтому и пришлось самому к себе придираться.

bigarcus в сообщении #328950 писал(а):

Известно, что для тензора Римана в общем случае существуют симметрии относительно индексов (случаи равенства между индексами, для которых значения элементов равны). То есть, вообще, тензор Римана $R_{iklm}$ - четырёхкомпанентный (i,k,l,m) тензор, для которого каждый индекс может принимать одно из четырёх значений (0,1,2,3), то есть, тензор Римана имеет $4*4*4*4=256$ элементов, однако, не все из них независимы. А можно ли (может, исходя из метрики) указать, какие из элементов ненулевые, не считая их? Так, для конкретной метрики я знаю, что ненулевых лишь 20 элементов тензора Римана. Как я могу узнать-понять, какие это элементы? Или считать все элементы необходимо?

Похоже, что Вы путаете ненулевые элементы и независимые. В тензоре Римана для четырехмерного пространства 20 независимых компонент (см. ЛЛ2(Ландау, Лифшиц, т.II) параграф 92), но ненулевых компонент может быть 256-112=144 (см. выше). Из этих 144 компонент (у которых первый индекс не равен второму, и третий индекс не равен четвертому) достаточно посчитать 20 независимых. Остальные (из этих 144 компонент) будут либо равны одной из независимых компонент, умноженной на 1 или -1, либо сумме двух независимых компонент, умноженной на -1 (см. ЛЛ2 параграф 92).

(Оффтоп)

Цитата:

А Вы специалист по ОТО?

Нет.