неналегающие промежутки (терминология)

[Sasha2]

Поясните пожалуйста, следует ли термин неналегающие промежутки, рассматривать как синоним "непересекающиеся промежутки". Или же под термином "неналегающие промежутки" следует полагать любые два промедутка, ни один из которых не лежит целиком внутри другого?

Вопрос задан в контексте вот такой леммы (Фихтенгольц, том 2, стр. 743)

Лемма: Пусть в кончном промежутке $[a,b]$ содержатся системы $D_1, D_2,...,D_k,...$ промежутков, каждая из которых состоит из конечного числа неналегающих друг на друга замкнутых промежутков. Если сумма длин промежутков каждой системы $D_k (k=1,2,...)$ больше некоторого постоянного числа $\delta$, то тогда найдется, по крйней мере, одна точка $x=c$, принадлежащая бесконечному множеству систем $D_k$.

[gris]

Мне кажется, что вопрос здесь обсуждался. Налегающие промежутки имеют общий интервал. Пересекающиеся могут пересекаться только в одной точке.
А у Фихтенгольца лучше указывать (том и) пункт, а то издания разные и пагинация не совпадает.

[Padawan]

Всегда, когда я встречал термин "неналегающие", он обозначал непересекающиеся.

[gris]

Это лемма Арцела. Там промежутки замкнутые, то есть отрезки. И непересекающиеся более сильное требование.

[Sasha2]

Меня тоже смутило, что неналегающие (вроде как непересекающиеся), а общая точка есть.
Значит наверно ненелегающие - это не то что непересекающиеся.

А еще не подскажите, где можно прочесть док-во этой леммы, отличное от док-ва Фихтенгольца.

[Padawan]

Да, согласен, заглянул в Фихтенгольца -- в этой лемме имеется ввиду то, что сказал глубокоуважаемый gris -- не содержат общего интервала.

[Sasha2]

То есть в принципе это означает, любое их расположение, кроме когда один внутри другого?

[Padawan]

Нет, один не может также наполовину другого заползать.

[Sasha2]

Ну а в чем тут противоречие?
Главное ведь в том, чтобы если он (первый) заползает на другой (второй), то еще должны быть какая-то часть первого, которая торчит снаружи второго.

[gris]

Для промежутков на $\mathbb R$ налегание означает, что у промежутков есть по крайней мере 2 общие точки. Неналегание - что меньше двух. Два отрезка могут соприкасаться концами, то есть иметь ровно одну общую точку. Это не есть налегание. Слова - один внутри другого, заползание не определены. Лучше их не употреблять.
Для открытых промежутков неналегание равносильно непересечению. Для полуоткрытых - есть различные варианты. Чтобы в них не путаться, существует термин налегающие. Вообще можно рассматривать налегающие множества.

[Sasha2]

Да все понял. Спасибо, уважаемый gris. Неналегание - это или непересечение, или касание.

[gris]

Кстати, мне в связи с леммой Арцела в голову тукнула задачка. Как бы подготовительная, упрощённая до безобразия.

На отрезке дана счётная система отрезков, длины которых ограничены снизу. Доказать, что существует точка, принадлежащая бесконечному числу отрезков. Изменится ли решение, если заменить отрезки на интервалы?

Вот не помню, решал ли я её (без леммы, естественно )

[Padawan]

gris
Найдётся, и даже более того, мера множества таких точек будет положительной (ограничена снизу тем же числом)
см. сообщение PAV http://dxdy.ru/post3919.html#p3919 в теме http://dxdy.ru/topic774.html

[gris]

Высокочтимый Padawan, после того, как Вы приобрели лазерный меч в лавке художника Ватто, который бежал высшего света после пластической операции, к Вам опасно приближаться на расстояние ближе уртона, но тем не менее моя осмеливайся.

Ах, да. По теме. Это да, верно для любых множеств, но я специально максимально упростил задачу, чтобы её можно было решить без теории меры, первокурснику, хотя это просто так, какая-то фантазия налетела в голову. Ибо вчера и сегодня мельком просматривал SW и в голове моей имперский марш. Тёмной стороны Силы увидеть влияние опасаюсь я в словах Ваших.