Базисы в пространстве.

[Krezol]

Собственно задали такую задачку...
Допустим $P$ - поле из двух элементов. Сколько базисов в пространстве $P^3$?

С одной стороны, я сразу, как наивный чукотский мальчик, подумал, что если эти два элемента в поле $P$ выражаются через $n$ базисов, тогда соответственно в пространстве $P^3$ будет $n^3$ векторов...
Но с другой стороны, если вспомнить поле рациональных чисел ($R$), то там в пространстве $R^3$ может быть бесконечное количество базисов (помимо стандартного -$\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ может быть например $\{(\sqrt 0.5,0.5,0.5),(-\sqrt 0.5,0.5,0.5),(0,-\sqrt 0.5,\sqrt 0.5)\}$).
В чём правда, господа?...

[мат-ламер]

Думается мне, что там вообще один базис - $(1,1,1)$. Это если исходить из того, что нулевой вектор в базис входить не должен. - Написал ерунду. Сейчас исправлю.

-- Вс июн 06, 2010 11:42:17 --

А сколько у Вас в $P^3$ элементов? Не слишком ли много?

-- Вс июн 06, 2010 11:49:49 --

В качестве базисных векторов можно выбрать любые три из семи ненулевых векторов. Где-то 35 базисов (если не ошибаюсь).

-- Вс июн 06, 2010 11:55:41 --

Опять написал ерунду. Теперь из этого множества надо исключить линейно зависимые системы.

-- Вс июн 06, 2010 11:59:40 --

Krezol. Тут за Вас задачи не решают. Давайте Вы попробуйте выписать несолько базисов.

-- Вс июн 06, 2010 12:08:26 --

Базисы проверяйте на линейную независимость подсчётом его определителя по модулю 2.

[Mathusic]

Пусть, $\mathbb{F}_q$-конечное поле из $q$ элементов. Тогда количество различных базисов в пространстве $\mathbb{F}_q^n$ равно $\prod_{i=0}^{n-1} (q^n-q^i)$, по скольку $i$-ый вектор можно выбрать $q^n-q^i$ способами.
В вашем случае будет $192$ базиса.

[Krezol]

Mathusic в сообщении #328202 писал(а):

по скольку $i$-ый вектор можно выбрать $q^n-q^i$ способами.

Хм, интересно, а можно какую-нибудь литературу по этому поводу...
Просто не совсем понятно почему можно выбирать именно таким способом...

[Mathusic]

Нулевой вектор мы можем выбрать $q^n-1$ способами (все, кроме нулевого), второй обязан быть ему не пропорционален, ergo, его можно выбрать $q^n-q$ способами, и так далее.

[Krezol]

Хм, обязательно ли тогда осуществлять перемножение, начиная с $i=0$, разве нельзя начинать с 1?

[мат-ламер]

Тупо выписал все базисы. Действительно получилось 192. Достаточно проверить 35 (с учётом перестановок).

[Krezol]

Не могу понять почему 192
$\prod_{i=0}^{n-1} (q^n-q^i)=(q^3-q^0)*(q^3-q^1)*(q^3-q^2)$
Соответственно равно в моем случае $(2^3-2^0)*(2^3-2^1)*(2^3-2^2)=7*6*4=168$... Почему 192?...

[Mathusic]

Krezol в сообщении #328228 писал(а):

Не могу понять почему 192

Я не правильно посчитал.

-- Вс июн 06, 2010 14:53:00 --

Krezol в сообщении #328207 писал(а):

Хм, обязательно ли тогда осуществлять перемножение, начиная с $i=0$, разве нельзя начинать с 1?

Обязательно.

[мат-ламер]

Я наверное тоже ошибся. Действительно, 168.