Несобственный интеграл

[sasha_vertreter]

Подскажите первый шаг, пожалуйста:
$\int_{0}^{\infty}\left\lfloor x\right\rfloor e^{-x}dx$

как я понимаю, по частям тут не получится, так как $\left\lfloor x \right\rfloor$ не непрерывна дифференцируема?

Спасибо!

[ИСН]

Тупо возьмите интеграл от n до n+1, а там видно будет.

[ewert]

sasha_vertreter в сообщении #328068 писал(а):

по частям тут не получится, так как $\left\lfloor x \right\rfloor$ не непрерывна дифференцируема?

Для интегрирования по частям дифференцируемость как раз, грубо говоря, и не нужна (т.е. не нужна непременно во всех точках). А вот непрерывность -- воистину обязательна.

Но это -- так, к слову, а к делу отношения не имеет. Просто разбейте интеграл на сумму интегралов по единичным отрезкам. Получится сумма бесконечной геометрической прогрессии, которая школьникам известна прекрасно (а вот студентам -- уже далеко не всем, увы, как показывает опыт...)

[sasha_vertreter]

У меня получилось

на $[0,1)$ $I_0=0$
на $[1,2)$ $I_1=-e^{-2}+e^{-1}$
на $[2,3)$ $I_2=2(-e^{-3}+e^{-2})$
на $[3,4)$ $I_3=3(-e^{-4}+e^{-3})$

но не получается посчитать знаменатель прогрессии, т.е. $I_2 \neq \sqrt{I_1 I_3} $. решаю дальше...

Все получилось: $\dfrac{1}{e-1}$.

Спасибо всем!