Интегральная формула Коши для кватернионов.

[Scholium]

Time писал(а):

Прошу прощения за вынужденный перерыв в переписке. Один за одним идут семинары, совещания и собрания, которые я сам же и инициировал.

Да нет проблем. Не форумом одним жив человек .

Time писал(а):

К тому же, как я с самого начала говорил, мне тема анализа на кватернионах совершенно не представляется перспективной. В сфомулированных Вами выше утверждениях, анализ над алгебрами кватернионов и октав изоморфен анализу над комплексными числами я вижу только дополнительное подтверждение этой своей позиции.

У Вас на сайтах довольно много материалов посвященных кватернионам и их обобщениям. Но, впрочем, это не важно. Дело не в перспективности или не перспективности кватернионов, октав или седенионов. Просто невозможно ориентироваться в безбрежном мире поли- и гиперчисел без теорем общего характера, тем более, как Вы можете видеть, они довольно элементарны.

Насчет сформулированных теорем об изомоморфизме комплексного анализа анализу в $\mathbb{H}, \mathbb{O}$ и $\mathbb{S}$. Дело в том, что «анализов» в этих и других пространствах может быть много. Я просто показал, что одним из вариантов таких «анализов» может быть непосредственное распространение анализа из $\mathbb{C}$ на его алгебраические обобщения. Однако существуют и другие варианты анализа, например, в $\mathbb{H}$, скажем, на базе идей Фютера и не только его. Да и в самом $\mathbb{C}$ бывает необходимость рассматривать неаналитические или обобщенно аналитические функции, что требует привлечения неаналитического комплексного анализа. Так что по этим вопросом могут быть очень жаркие споры. Просто к обсуждению пока еще не подключились специалисты в этих вопросах.

Кстати, физики часто бегут впереди лошади. Я посмотрел некоторые физические работы, так там кватернионный или октонионный анализ применяется по умолчанию эквивалентный комплексному анализу, хотя нигде конечно ничего не обосновывается. Так что эти теоремы могут быть для них некоторой точкой опоры.

А смысл исследований в этих вопросах только в одном. Получены некоторые интересные результаты и жалко бросать это направление и не посмотреть, а что там «за углом» . Можно сказать, я ищу точку опоры в поли- или гиперчислах. Но пока еще не нашел ее.

Time писал(а):

У нас, кстати, в ближайшую субботу очередной семинар, где первым номером будет доклад как раз по кватернионному анализу:

Цитата:

В субботу, 5 июня состоится очередной семинар
"Гиперкомплексные числа в геометрии и физике".

Приехать не хотите?

Это конечно было бы интересно пообщаться «вживую», только живем мы уже в разных государствах. В России я не был более 15 лет, а в Москве товарищи милиционеры не очень любят приезжих из Украины, поэтому я просто не хочу иметь лишних проблем. Поэтому придется пока общаться через Интернет .

[Time]

Scholium в сообщении #326491 писал(а):

А смысл исследований в этих вопросах только в одном. Получены некоторые интересные результаты и жалко бросать это направление и не посмотреть, а что там «за углом» . Можно сказать, я ищу точку опоры в поли- или гиперчислах. Но пока еще не нашел ее.

Своим временем и силами Вы, естественно, вольны распоряжаться как считаете нужным. Только "за угол" кваернионов смотрел и посвятил этому всю свою жизнь за последние 160 лет не один только Гамильтон, а тысячи математиков. Кроме математических результатов (если говорить о вещественных, а не о комплексных кватернионах, которые в частности давно связаны с уравнениями Максвелла, а кое кто из физиков утверждает, что получает и гравитацию), на сколько мне известно ничего физического, а тем более принципиально нового так и не было получено (если я ошибаюсь, прошу поправить и перечислить, что именно), но что самое печальное не видно фундаментальных оснований, что бы было получено. Ведь их алгебре соответствует обычное евклидово пространство, которое в лучшем случае можно "закрутить" до риманова или псевдориманова. Так работать с этими пространствами давно научились и без кватернионов. Тогда в чем же ожидается "навар"? Особенно для физиков?

Scholium в сообщении #326491 писал(а):

Это конечно было бы интересно пообщаться «вживую», только живем мы уже в разных государствах. В России я не был более 15 лет, а в Москве товарищи милиционеры не очень любят приезжих из Украины, поэтому я просто не хочу иметь лишних проблем. Поэтому придется пока общаться через Интернет .

К нам регулярно приезжают физики и математики не только из Украины, но и других стран бывшего Союза, а также со всего Мира. Еще ни разу не слышал о трудностях с милицией или чем-то подобным, особенно если приезд меньше, чем на три дня. В этом случае даже регистрироваться не нужно, достаточно сохранить билет. Если хотите - организуем встречу прямо на вокзале и сопровождение вплоть до отъезда. Можно и регистрацию оформить. Я проделываю это для наших гостей, которые приезжают на более чем три дня достаточно регулярно. Естетсенно я не настаиваю, просто через интернет Вы вряд ли пообщаетесь со всеми теми людьми, что обычно приезжают на наши ежемесячные семинары. Многие из них чуть ли не принципиально кроме личной почты не просматривают..

[Scholium]

Time писал(а):

Своим временем и силами Вы, естественно, вольны распоряжаться как считаете нужным. Только "за угол" кваернионов смотрел и посвятил этому всю свою жизнь за последние 160 лет не один только Гамильтон, а тысячи математиков. Кроме математических результатов (если говорить о вещественных, а не о комплексных кватернионах, которые в частности давно связаны с уравнениями Максвелла, а кое кто из физиков утверждает, что получает и гравитацию), на сколько мне известно ничего физического, а тем более принципиально нового так и не было получено (если я ошибаюсь, прошу поправить и перечислить, что именно), но что самое печальное не видно фундаментальных оснований, что бы было получено. Ведь их алгебре соответствует обычное евклидово пространство, которое в лучшем случае можно "закрутить" до риманова или псевдориманова. Так работать с этими пространствами давно научились и без кватернионов. Тогда в чем же ожидается "навар"? Особенно для физиков?

Если так рассуждать, то вообще ничего не надо кроме комплексных чисел. А всякие там числа Паули, алгебра Клиффорда или кватернионные уравнения Максвелла не более чем математическая техника для «разового» использования. У нас наверное разные методологии исследования. Я не собираюсь бессмысленно заниматься кватернионами, октавами или седенионами. Я довольно легко получил несколько интересных, по крайней мере, для себя, результатов. Просто хочу посмотреть, а что дальше? Будет затык, брошу и «переквалифицируюсь в управдомы» . У меня довольно много интересных проектов. В программировании, в квантовой механике, в литературе или социальных исследованиях. Я рад, что пока могу позволить себе заниматься тем, что мне интересно в данный момент. Но нет ничего абсолютного. Только нужно понять кое-что. . .

Time писал(а):

К нам регулярно приезжают физики и математики не только из Украины, но и других стран бывшего Союза, а также со всего Мира. Еще ни разу не слышал о трудностях с милицией или чем-то подобным, особенно если приезд меньше, чем на три дня. В этом случае даже регистрироваться не нужно, достаточно сохранить билет. Если хотите - организуем встречу прямо на вокзале и сопровождение вплоть до отъезда. Можно и регистрацию оформить. Я проделываю это для наших гостей, которые приезжают на более чем три дня достаточно регулярно. Естетсенно я не настаиваю, просто через интернет Вы вряд ли пообщаетесь со всеми теми людьми, что обычно приезжают на наши ежемесячные семинары. Многие из них чуть ли не принципиально кроме личной почты не просматривают..

Наверное, мне тяжело будет собраться в первый раз. Но есть еще один момент, о котором я уже говорил. Мне хотелось бы приехать с интересными результатами. Пока только наметки, не более. А меня еще очень интересует квантовая механика и другие физические теории. Наверное, будет хорошо, если будут результаты интересные не только мне, но и Вам.

За возможность персональной встречи – большое спасибо. Но давайте договоримся, пока еще мне не с чем ехать. Думаю, что со временем эти вопросы решаться. . . Что касается невозможности общения с замкнутыми персонами, то в данный момент это не проблема, мне еще очень много надо поработать с литературой. На это и уходит сейчас все время.

[Time]

Scholium в сообщении #326553 писал(а):

Я довольно легко получил несколько интересных, по крайней мере, для себя, результатов. Просто хочу посмотреть, а что дальше? Будет затык, брошу

Ничего Вы не бросите. Не тот это объект, эти кватернионы, что бы легко отпускать тех, кто с ними связался.. В случае затыка Вы просто перейдете к комплексному их расширению (комплексные кватернионы или бикватернионы). Кстати, полагаю, что вот для них Вы вряд ли докажите теорему об изоморфизме комплексному анализу. Хотя бы потому, что соответствующая им 8-ми мерное вещественное пространство уже финслерово с метрической функцией в виде формы четвертого порядка. Можете глянуть на этот счет, например, работы Кассандрова, правда, в них не будет про финслерову метрику..

На счет приезда - смотрите сами, когда это станет более приемлимо..

[Scholium]

Time писал(а):

Ничего Вы не бросите. Не тот это объект, эти кватернионы, что бы легко отпускать тех, кто с ними связался.. В случае затыка Вы просто перейдете к комплексному их расширению (комплексные кватернионы или бикватернионы). Кстати, полагаю, что вот для них Вы вряд ли докажите теорему об изоморфизме комплексному анализу. Хотя бы потому, что соответствующая им 8-ми мерное вещественное пространство уже финслерово с метрической функцией в виде формы четвертого порядка. Можете глянуть на этот счет, например, работы Кассандрова, правда, в них не будет про финслерову метрику..

В послестудентческие годы я увлекался теоремой Ферма и один раз даже целые сутки был убежден, что нашел ее доказательство. Однако быстро нашел ошибку в своих рассуждениях. После этого я на эту теорему «забился». Т.е., хочу сказать, что не стал «ферматистом», думаю, что не стану и «кватернионистом». Центр моих интересов лежит вне кватернионов. По большом счету, кватернионы не намного лучше комплексных чисел, они просто немного дополняют их в непринципиальных нюансах. Очень может быть, что это относится и ко всем поли- и гиперчислам. Полагаю, что значение всех их более техническое, чем принципиальное. Но математическая техника вполне может быть полезна для разного рода непринципиальных упрощений и других вычислительных удобств. Так что, скорее всего, в ближайшее время я займусь квантовой механикой и сопутствующими вопросами.

Time писал(а):

На счет приезда - смотрите сами, когда это станет более приемлимо..

Хорошо, будут серьезные взаимно интересные результаты, можно будет вернуться к этой теме.

[Руст]

То, что вы делаете - это обычный комплексный анализ. Если хотите найти настоящих аналогов интегральной формулы Коши для гиперчисел, то вы сперва должны вычислить интегралы:

$$\int_{|q|=1}q^nds$$

по единичной сфере (в смысле нормы гиперчисел, а не по евклидовой сфере, когда они не совпадают) для всех целых (в том числе отрицательных) $n$. При этом надо иметь в виду, что элемент площади на сфере не индуцируется от нормы гиперчисел. На этот счет у меня есть работа (не опубликованная), как вычисляется метрика и элемент площади на сфере для гиперчисел (там возникает обычная римановая геометрия).

[Time]

Руст

Извиняюсь за задержку с ответом на последнее письмо по мылу. Цейтнот..
Ваши рисунки эквипотенциальных линий предфракталов совсем не принципиальным образом отличаются от наших с Панчелюгой. Главное тут было показать, что предфракталы на двойных числах ровно ничем не элементарнее своих эллиптических аналогов. А как там идут "хвосты" ближе к границе - детали.
Однако у Вас нет линий во внутренней области. У нас они есть, также как и на комплексных предфракталах. Именно сравнение двух классов объектов и их принципиально одинаковая сложность и было главным результатом нашей работы.

[Scholium]

Руст писал(а):

То, что вы делаете - это обычный комплексный анализ. Если хотите найти настоящих аналогов интегральной формулы Коши для гиперчисел, то вы сперва должны вычислить интегралы:
$\int_{|q|=1}q^nds$
по единичной сфере (в смысле нормы гиперчисел, а не по евклидовой сфере, когда они не совпадают) для всех целых (в том числе отрицательных) $n$. При этом надо иметь в виду, что элемент площади на сфере не индуцируется от нормы гиперчисел. На этот счет у меня есть работа (не опубликованная), как вычисляется метрика и элемент площади на сфере для гиперчисел (там возникает обычная римановая геометрия).

Это не совсем так. Я начинаю свой действия в кватернионах, октавах, седенионах и т.д. и заканчиваю свои действия там же. Это связано с тем, что нормированная векторная часть этих гиперкомплексных чисел эквивалентна мнимой единице, а сами эти числа, в такой записи, изоморфны комплексным числам (при фиксированной векторной единице), оставаясь при этом числами собственной «породы». Это позволяет вычислять аналитические функций от этих гиперчисел, в том числе их дифференциалы и интегралы. Заметим, что при этом действительные и мнимые части аналитических функций не чувствительны к изменениям гиперчисел на единичной сфере в пространстве их векторных единиц. Наверное, точнее будет сказать, что:

Фактор-пространство гиперчисел Кэли-Диксона по сферическим поверхностям в пространстве их векторных единиц изоморфно комплексной плоскости.

А отсюда уже следует изоморфизм анализов на этих гиперчислах.

Что касается Ваших «настоящих аналогов», то давайте зададимся вопросом: «В чем смысл
интегральной формулы Коши»? В том, чтобы справа стоял интеграл по единичной сфере заданных комплексных гиперчисел? Или в эффективном вычислении значения функции в некоторой точке, внутри этой сферы?

Если важен ответ на первый вопрос, то очень часто мы будем иметь что-то напоминающее только теоремы существования, типа, как в «Кватернионом анализе» Э. Садбери. А если второй, то разве вычисление интеграла по единичной сфере в конечное выражение умаляет его значение?

Понятно, что все копья по поводу теорем об изоморфизме «анализов» будут метаться в сторону неизоморфных анализов. Мол, изоморфные анализы нам не интересны, нам подавай неизоморфные анализы! Но я не пытаюсь закрыть вопрос о существовании и представлении неизоморфных анализов. Это тема слишком сложна для этого. Я просто предлагаю, ребята давайте начнем работать с изоморфными анализами, а там постепенно будем переходить к их обобщениям, вроде обобщено аналитических комплексных функций или другим подобным конструкциям. Есть же школа Фютера, которая интенсивно занимается этим направлением с 30-х годов прошлого столетия. И в принципе есть у них нетривиальные результаты. Мне, например, интересно будет сравнить наш изоморфный ( $\mathbb{C}$ ) и их неизоморфный анализы. Ну а там видно будет, куда двигаться дальше.

И тем более, для меня, по крайней мере, рано заниматься неэвклидовыми метриками. Так что направлений исследований хватит всем до пенсии, если не более .

[Scholium]

Time писал(а):

Кстати, полагаю, что вот для них Вы вряд ли докажите теорему об изоморфизме комплексному анализу. Хотя бы потому, что соответствующая им 8-ми мерное вещественное пространство уже финслерово с метрической функцией в виде формы четвертого порядка. Можете глянуть на этот счет, например, работы Кассандрова, правда, в них не будет про финслерову метрику..

Интересную Вы задали задачку. Ну что-ж, попробуем применить к ней ту же идею решения.

Пусть бикватернион

$u = \sum \limits_{k=0}^7 u_k i_k$, (A1)

где $i_0 = 1$, $i_1^2 = -1$, $i_2^2 = -1$, $i_3^2 = -1$, $i_4^2 = -1$, $i_5^2 = 1$, $i_6^2 = 1$, $i_7^2 = 1$, причем, $i_4$ - мнимая единица, которая коммутирует с остальными мнимыми единицами. Полностью таблицу умножения бикватернионов можно посмотреть, например, здесь.

Вычислим квадрат векторной части бикватерниона

$(u - u_0)^2 = \left ( \sum \limits_{k = 1}^7 u_k i_k \right ) \left ( \sum \limits_{l = 1}^7 u_l i_l \right ) = \sum \limits_{k = 1}^7 (u_k i_k)^2 + \sum \limits_{1=k<l=7} u_k u_l (i_k i_l + i_l i_k)$. (A2)

Часть сумм второго слагаемого правой части (A2) обратиться в ноль, а часть нет. В итоге получим выражение

$(u - u_0)^2 = -u_1^2 - u_2^2 - u_3^2 - u_4^2 + u_5^2 + u_6^2 + u_7^2 + 2 u_4 \left ( u_1 i_5 - u_5 i_1 + u_2 i_6 - u_6 i_2 + u_3 i_7 - u_7 i_3 \right )$. (A3)

Мы видим, что это выражение не обращается в скаляр. Все портит четвертый компонент бикватерниона (A1). Однако, мы можем записать (A3) иначе

$(u - u_0 - u_4 i_4)^2 = -u_1^2 - u_2^2 - u_3^2 + u_5^2 + u_6^2 + u_7^2$. (A4)

Обозначим выражения

$\,| u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 - u_5^2 - u_6^2 - u_7^2 |~= \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 - u_5^2 - u_6^2 - u_7^2}$. (A5)

и

$\mathcal{B} = \frac{u_1 i_1 + u_2 i_2 + u_3 i_3 + u_5 i_5 + u_6 i_6 + u_7 i_7}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 - u_5^2 - u_6^2 - u_7^2}} = \frac{u - u_0 - u_4 i_4}{| u - u_0 - u_4 i_4 |}$. (A6)

Тогда (A1) запишется в виде

$u = u_0 + u_4 i_4 + \mathcal{B}~| u - u_0 - u_4 i_4 |$, (A7)

причем, из (A4)-(A6) следует, что

$\mathcal{B}^2 = -1$. (A8)

К сожалению, коммутирующая мнимая единица $i_4$ продолжает нам портить бикватернион (A1) видом (A7). Тем не менее, оставим случай $u_4 \neq 0$ или случай нелинейной или немультипликативной аналитической функции $z \to f(z) \in \mathbb{C}$ на будущее и попытаемся сформулировать аналог интегральной теоремы Коши для бикватернионов.
Имеем

Интегральная формула Коши для бикватернионов.

Integral Formula of Cauchy for Biquaternions.

Пусть бикватернион $u = \sum \limits_{k=0}^7 u_k i_k \in \mathbb{B}$, где $i_0 = 1$, $i_1^2 = -1$, $i_2^2 = -1$, $i_3^2 = -1$, $i_4^2 = -1$, $i_5^2 = 1$, $i_6^2 = 1$, $i_7^2 = 1$, причем, $i_4$ - мнимая единица, которая коммутирует с остальными мнимыми единицами, $q_k \in \mathbb{R}, \forall k \in \overline{1 . .~7}$, $\,| u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 - u_5^2 - u_6^2 - u_7^2 |~= \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 - u_5^2 - u_6^2 - u_7^2}$,
$\mathcal{B} = \frac{u - u_0 - u_4 i_4}{| u - u_0 - u_4 i_4 |}$, $| u - u_0 - u_4 i_4 |~\neq 0$. Далее, полагаем, что функция $f(z)$ непрерывна внутри простого замкнутого, ориентированного положительно, контура $\Gamma \subset \mathbb{C}$ и аналитичная внутри $\Gamma$. Тогда, при $\lambda = u_0 + u_4 i_4 + \mathcal{B} | u - u_0 - u_4 i_4 |$,

$f(u) = \text{Re} \left ( \frac{1}{2 \pi i} \int\limits_{\Gamma} \frac{f(z)}{z - \lambda}~d z \right ) + \mathcal{B}~\text{Im} \left ( \frac{1}{2 \pi i} \int\limits_{\Gamma} \frac{f(z)}{z - \lambda}~d z \right )$, (A9)

и, следовательно,

$f(u) = \text{Re} \left ( f \left ( u_0 + u_4 i_4 + \mathcal{B}~| u - u_0 - u_4 i_4 | \right ) \right ) + \mathcal{B}~\text{Im} \left ( f \left (u_0 + u_4 i_4 + \mathcal{B}~| u - u_0 - u_4 i_4 | \right ) \right )$, (A10)

если функция $f(\lambda)$ определена для своего значения $\lambda$. В частности, это верно для случая $u_4 = 0$. Здесь $\text{Re}$ и $\text{Im}$ – соответственно, действительная и мнимая части от своего выражения.

Доказательство основано на определенности значения $f(\lambda)$ и условия (A8), по крайней мере, для случая $u_4 = 0$. Кроме выражений (A9)- (A10) возможны эквивалентные выражения для сопряженных значений $\overline{\lambda}$, типа (1a), (2a) или (92). Случай $u_4 \neq 0$, можно отложить на будущее. Тем не менее, экспоненту от бикватерниона можно вычислить в общем случае, в силу мультипликативности экспоненциальной функции и коммутативности мнимой единицы $i_4$.

Т.е.

$e^u = e^{u_0} \left ( \cos(u_4) + i_4 \sin(u_4) \right ) \left ( \cos \left (| u - u_0 - u_4 i_4 | \right ) + \mathcal{B} \, \sin \left ( | u - u_0 - u_4 i_4 | \right ) \right )$. (A11)

Из всего этого, по крайней мере, для случая $u_4 = 0$, следует:

Теорема об изоморфизме комплексного и бикватернионного анализа.

Theorem about Isomorphism of the Complex and Biquaternion Analysis.

Анализ на бикватернионах в случае равенства нулю компонента при коммутирующей мнимой единице, изоморфен анализу в комплексной плоскости с точностью, до порядка множителей бикватернионов и мнимых частей бикватерниона в $\mathbb{B}$ и соответствующего ему комплексного числа в $\mathbb{C}$.

Доказательство следует по аналогии с предыдущими подобными доказательствами.

Опять таки, речь идет об изоморфном ( $\mathbb{C}$ ) анализе, хотя могут еще существовать неизоморфные ( $\mathbb{C}$ ) анализы на бикватернионах, особенно с неклассической метрикой.

[iig]

Похоже, тут мистическое отношение к гиперкомплексным числам. как к свое время к "мнимым".
На самом деле это просто математический аппарат, удобный чтобы в краткой или удобной форме выражать ограниченный класс (группу) матриц.
С октавами матрицы не пройдут, но их свойства еще более ограничены.
Лучше займитесь алгебрами или группами типа G2 and F4, это интересней, где-то кто-то пытался их связать с атомом и даже ядром.
P.S. Собираюсь на своем сайте эту тему развить, в общем готова, но никак не соберусь кончить.
Имеется в виду немного другое представление 4*4 матриц, где частным случаем два вида кватернионов и спиноры Дирака.

[Scholium]

iig писал(а):

Похоже, тут мистическое отношение к гиперкомплексным числам. как к свое время к "мнимым".

В математике нет мистики, хотя математика это наука богов .

iig писал(а):

На самом деле это просто математический аппарат, удобный чтобы в краткой или удобной форме выражать ограниченный класс (группу) матриц.

Вся математика это «просто математический аппарат». А алгебра матриц очень даже не «ограничена». Достаточно понимать простые вещи. Алгебра матриц над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$ ассоциативна, а многие гиперкомплексные числа нет. Однако алгебра матриц над телом кватернионов $\mathbb{H}$, алгеброй октав $\mathbb{O}$ или там седенионов $\mathbb{S}$ уже не будет ассоциативной, так, что вполне можно воспользоваться рекурсивным или индуктивным определением вышестоящей алгебры матриц над нижестоящей.

iig писал(а):

С октавами матрицы не пройдут, но их свойства еще более ограничены.

Сразу два заблуждения. Во-первых, «с октавами матрицы пройдут», а во-вторых, октавы ничуть не более ограничены, чем скажем комплексные числа, а даже «немного» «круче» их. Это все следует из доказанных здесь теорем.

Например, матрицу октав $K$ можно представить как матрицу от кватернионов $q_1, q_2 \in \mathbb{H}$, согласно процедуре удвоения Кэли-Диксона, а именно

$K = \left ( \begin{matrix} q_1, & q_2 \\ -\overline{q}_2, & \overline{q}_1 \end{matrix} \right )$. (B1)

Эти матрицы уже не будут ассоциативными, а интегральную формулу Коши от кватернионов вычислять мы уже умеем. Так что, применяя интегральную формулу Коши для матриц октав $K$, получим в итоге, для любой аналитической функции $f(z) \in \mathbb{C}$ и октавы $u = q_1 + q_2~l$, где $l$ - независимая мнимая единица, такая что $l^2 = -1$,

$f(u) = \text{Re} \left ( f(\lambda) \right ) + \frac{u - \text{Re}(u)}{| u - \text{Re}(u) |} \text{Im} \left ( f(\lambda) \right )$, (B2)

либо эквивалентные выражения. Здесь комплексное число

$\lambda = \text{Re}(u) + i\,| u - \text{Re}(u) |$, (B3)

$\text{Re}(u)$ - действительная часть октавы $u$, причем, полагаем, $u \neq \text{Re}(u)$.

Уже доказано, что для

$\mathcal{K} = \frac{u - \text{Re}(u)}{| u - \text{Re}(u) |}$, (B4)

$\mathcal{K}^2 = -1$, (B5)

поэтому формулу (B2) можно также получить за счет изоморфности фактор-пространства, в общем случае любых, гиперчисел Кэли-Диксона $u$ по сферическим поверхностям в пространстве их векторных единиц, комплексной плоскости.

Из этой теоремы об изоморфизме гиперкомплексных чисел Кэли-Диксона комплексным числам следует, что на всех гиперкомплексных числах, в том числе, кватернионах, октавах и седенионах, можно ввести анализ, изоморфный комплексному анализу аналитических функций. Конечно, можно использовать и неизоморфные анализы, как например, кватернионный анализ Коши-Фютера. Но, как минимум, наличие изоморфного $\mathbb{C}$ гиперкомплексного анализа для любых гиперчисел Кэли-Диксона, не говорит о «большей ограниченности» тех же октав .

iig писал(а):

Лучше займитесь алгебрами или группами типа G2 and F4, это интересней, где-то кто-то пытался их связать с атомом и даже ядром.

А почему не $E_7$ или $E_8$? Их уже связывают с полной теорией всех элементарных частиц. Однако, всему свое время. Сначала надо развеять заблуждения типа Ваших .

iig писал(а):

P.S. Собираюсь на своем сайте эту тему развить, в общем готова, но никак не соберусь кончить.

Это дело похвальное, особенно если есть принципиально новые идеи.

iig писал(а):

Имеется в виду немного другое представление 4*4 матриц, где частным случаем два вида кватернионов и спиноры Дирака.

Алгебра матриц годится на все случае жизни, особенно если не ограничиваться полями $\mathbb{R}$ и $\mathbb{C}$ .

[Руст]

Цитата:

Например, матрицу октав $K$ можно представить как матрицу от кватернионов $q_1, q_2 \in \mathbb{H}$, согласно процедуре удвоения Кэли-Диксона, а именно

$K = \left ( \begin{matrix} q_1, & q_2 \\ -\overline{q}_2, & \overline{q}_1 \end{matrix} \right )$. (B1)

Алгебра матриц над ассоциативным кольцом всегда ассоциативно. Так (через матрицу) вы можете представить только умножение слева или справа, но это не представление, так как произведению чисел не соответствует произведение матриц. Т.е. такое изображение не отражает структуры октав.

[Scholium]

Руст писал(а):

Цитата:

Например, матрицу октав $K$ можно представить как матрицу от кватернионов $q_1, q_2 \in \mathbb{H}$, согласно процедуре удвоения Кэли-Диксона, а именно

$K = \left ( \begin{matrix} q_1, & q_2 \\ -\overline{q}_2, & \overline{q}_1 \end{matrix} \right )$. (B1)

Алгебра матриц над ассоциативным кольцом всегда ассоциативно. Так (через матрицу) вы можете представить только умножение слева или справа, но это не представление, так как произведению чисел не соответствует произведение матриц. Т.е. такое изображение не отражает структуры октав.

Согласен! Тут я поторопился с выводами. Действительно, октаву через кватернионную матрицу (B1) не представить. Надо подключать к матрицам октонионную единицу $l$, ту, которая «делает» из кватернионов $q_1, q_2 \in \mathbb{H}$ октаву

$u = q_1 + q_2 l$. (B6)

Однако выражать октавы через октавы не есть хорошо. Поэтому этот случай можно пропустить. А вот для седенионов вопрос остается открытым. Т.е.

Можно ли матрицу седенионов представить через матрицу второго порядка над алгеброй октонионов?

Может быть и нельзя. Однако вопрос можно повторить по рекурсии. На положительный результат позволяет надеется теорема Людковского, которая утверждает, что в процессе удвоения чисел Кэли-Диксона сохраняется степенная ассоциативность.

Тем не менее, отсутствие матриц для октав и выше не «отменяет» результат типа (B2) ибо он получен на основе теоремы об изоморфизме гиперчисел Кэли-Диксона. То же касается и комплексного анализа индуцированного на этих гиперчислах.

[Руст]

Цитата:

Можно ли матрицу седенионов представить через матрицу второго порядка над алгеброй октонионов?

Этого так же нельзя представить. Можно взять подалгебру кватернионов (два любых вектора образуют кватернионы или вы вырожденном случае комплексную плоскость) в октонионах. Если бы существовало ваше представление, то матрицы из соответствующая подалгебры кватернионов должна была представить октонионов. А это невозможно из-за неассоциативности.

[Scholium]

Руст писал(а):

Scholium писал(а):

Можно ли матрицу седенионов представить через матрицу второго порядка над алгеброй октонионов?

Этого так же нельзя представить. Можно взять подалгебру кватернионов . . . в октонионах. Если бы существовало ваше представление, то матрицы из соответствующая подалгебры кватернионов должна была представить октонионов. А это невозможно из-за неассоциативности.

Совершенно неочевидный факт.

Пусть, например, дана матрица $U$ в октанионах $u_1, u_2 \in \mathbb{O}$

$U = \left ( \begin{matrix} u_1, & u_2 \\ -\overline{u}_2, & \overline{u}_1 \end{matrix} \right )$. (B7)

Если мы справа в (B7) возьмем кватернионы, то октанионов, очевидно, не получим. А если октанионы, седенионы или алгебры высшего порядка? Может быть когда, нарушения ассоциативности стабилизируются, мы сможем говорить о матрицах вида (B7) образующих матрицы более высокого порядка?