как вывести принцип индукции из аксиомы о минимальном элем

[Dims]

Как вывести принцип математической индукции из аксиомы, что любое подмножество множества натуральных чисел содержит минимальный элемент?

[Егор]

Dims писал(а):

Как вывести принцип математической индукции из аксиомы, что любое подмножество множества натуральных чисел содержит минимальный элемент?

Видимо, подразумевалось, что любое непустое подмножество множества натуральных чисел содержит минимальный элемент. Будем считать, что множество натуральных чисел $\mathbb N$ начинается с единицы. Хотим доказать, что если $A\subset{\mathbb N}, $1\in A$ и \forall n\in{\mathbb N}\ (n\in A\ \Rightarrow\ n+1\in A), то $A={\mathbb N}$.

Доказательство. Рассуждая от противного, предположим, что множество {\mathbb N}\setminus A$ непусто. Тогда в нём существует минимальный элемент, который обозначим через $m$. Возможны два случая: $m=1$ или $m>1$. В каждом случае сразу получается противоречие.

[Dims]

Не понял, какое противоречие получается при m>1 ?

[Brukvalub]

Число 1 не может лежать в {\mathbb N}\setminus A$, ведь, по условию,
$1\in A$.Поэтому $m>1$ и тогда число m-1 обязательно лежит в А, поскольку оно меньше минимального элемента из {\mathbb N}\setminus A$. Но тогда и число m=(m-1)+1 тоже должно лежать в А - противоречие.

[Dims]

Понятно.

А что такое "минимальный элемент"? Это такой элемент, для которого любой элемент больше либо равен ему?

А что такое "любой элемент"? Нет ли в этом понятии индукции? Оно как-то определяется?

[незваный гость]

;evil:

Dims писал(а):

А что такое "минимальный элемент"? Это такой элемент, для которого любой элемент больше либо равен ему?

Да.

Dims писал(а):

А что такое "любой элемент"? Нет ли в этом понятии индукции? Оно как-то определяется?

Теоретико-множественно. Всякое (или, по крайней мере, большинство) определение натурального ряда основывается на теории множеств, и существование и всеобщность оттуда наследуются. То есть индукции здесь нет.

[Dims]

Понятно, что из теории множеств. Но там-то как-то понятие "любой" определяется?

Интуитивно кажется, что утверждать "любой" насчёт элементов бесконечного множества без какой-либо индукции нельзя.

[Brukvalub]

Dims писал(а):

Понятно, что из теории множеств. Но там-то как-то понятие "любой" определяется?

Интуитивно кажется, что утверждать "любой" насчёт элементов бесконечного множества без какой-либо индукции нельзя.

То есть Вы отрицаете возможность проверки правильности высказываний типа: "квадрат любого вещественного числа неотрицателен" - ведь для этого индукция по натуральному параметру неприменима в принципе?

[Dims]

Нет, мне кажется, что смысл слова "любой" может быть ограничен, то есть, у него как бы может быть некотороя своя предельная мощность.

[Brukvalub]

Эти ограничения содержатся уже в самой канторовской теории множеств, где, скажем, запрещено образование "слишком больших" множеств для устранения парадоксов типа парадокса брадобрея. Но лучше пусть Вам об этом расскажут специалисты мо метаматематике, к которым меня отнести нельзя.

[Someone]

Что-то я не пойму. "Любой" - это квантор всеобщности. Искать его нужно в математической логике, а не в теории множеств. К математической индукции он отношения не имеет.

[Dims]

Ну да, квантор всеобщности. У него есть определение, или он определятеся только через метаязык/аксиоматически?

[Brukvalub]

Dims писал(а):

Ну да, квантор всеобщности. У него есть определение, или он определятеся только через метаязык/аксиоматически?

Почитайте об этом,например, здесь: http: //lib.mexmat.ru/books/63,
здесь: http://lib.mexmat.ru/books/1419
здесь: http://lib.mexmat.ru/books/1407
или здесь: http://lib.mexmat.ru/books/61.
Последнюю из книг Вы совершенно законно можете скачать здесь: http://www.mccme.ru/free-books/