существование $\varepsilon$-перпендикуляра

[LK4D4]

В Кириллове, Гвишиани есть следующая задача:
Пусть $L$ — банахово пространство и $L_0\subset L$ — его замкнутое подпространство. Вектор $x\in L$ называется $\varepsilon$-перпендикуляром к $L_0$, если для любого $y\in L_0$ выполняется неравенство $\|x+y\| \ge (1-\varepsilon)\|x\|$. Доказать что при $\varepsilon > 0$ любое собственное подпространство обладает $\varepsilon$-перпендикуляром.
В указаниях написано:
При факторотображении $\varphi: L\mapsto L/L_0$ открытый единичный шар в $L$ переходит в открытый единичный шар в $L/L_0$.
Мне вообще не очевидна связь этого с существованием перпендикуляра. Проясните что к чему.

[id]

Наверно, как-то так:
Выберем элемент $\hat x_0 \in L / L_0$ такой, что $\| \hat x_0\|_{L/L_0} = 1-\varepsilon$, $1>\varepsilon > 0$. Его прообраз при $\varphi$ - это класс эквивалентности, при этом по определению фактор-нормы $1-\varepsilon = \| \hat x_0\|_{L/L_0} = \inf\limits_{y \in L_0} \| x_0 + y \|$.
Выберем теперь представитель $x_0$ нужным образом, и все.

[LK4D4]

Спасибо, теперь все понятно.

[id]

Эта лемма (о почти перпендикуляре), кстати, верна и для нормированных пространств.

Что именно автор хотел от банаховости не знаю. Разве

Цитата:

При факторотображении $\varphi: L\mapsto L/L_0$ открытый единичный шар в $L$ переходит в открытый единичный шар в $L/L_0$.

и все аргументы выше не выполняются в произвольном нормированном пространстве? Вроде как выполняются.