В Кириллове, Гвишиани есть следующая задача:
Пусть

— банахово пространство и

— его замкнутое подпространство. Вектор

называется

-перпендикуляром к

, если для любого

выполняется неравенство

. Доказать что при

любое собственное подпространство обладает

-перпендикуляром.
В указаниях написано:
При факторотображении

открытый единичный шар в

переходит в открытый единичный шар в

.
Мне вообще не очевидна связь этого с существованием перпендикуляра. Проясните что к чему.