Если фактор-группа - группа без центра. Проверьте.

[copyleft]

Просьба проверить правильность доказательства.
Задача следующая: пусть $A$ - центральная подгруппа группы $G$, т.е. $A \subseteq Z(G)$. Доказать, что если фактор-группа $G/A$ является группой без центра, то $A=Z(G)$.

Предположим противное: пусть фактор-группа $G/A$ является группой без центра, но $A \neq Z(G)$. Тогда $\exists ~ g_1 \in Z $\$A: ~ \forall ~ g_2 \in G: ~ g_1 g_2 = g_2 g_1$
$(g_1 g_2) A = (g_2 g_1) A$ (нужно точное обоснование, затрудняюсь.)
$g_1 A \cdot g_2 A = g_2 A \cdot g_1 A $
$g_1 A \in Z(G/A) $
Пришли к противоречию, т.к. $G/A$ - группа без центра.

[Хорхе]

Групп без центра не бывает. Бывают группы с тривиальным центром. Соответственно этому и рассуждение надо подправить.

Точное обоснование нужно не в том месте, что Вы отметили, а строчкой ниже. Ключевое слово "нормальность".

[copyleft]

Ну так.. свойство смежных классов по нормальной подгруппе вроде..

[Хорхе]

Именно так. Только вот почему подгруппа нормальная?

И еще осталось исправить безцентровость на нетривиальность центра.