2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Если фактор-группа - группа без центра. Проверьте.
Сообщение30.05.2010, 12:53 
Просьба проверить правильность доказательства.
Задача следующая: пусть $A$ - центральная подгруппа группы $G$, т.е. $A \subseteq Z(G)$. Доказать, что если фактор-группа $G/A$ является группой без центра, то $A=Z(G)$.

Предположим противное: пусть фактор-группа $G/A$ является группой без центра, но $A \neq Z(G)$. Тогда $\exists  ~ g_1 \in Z $\$A: ~ \forall ~ g_2 \in G: ~ g_1 g_2 = g_2 g_1$
$(g_1 g_2) A = (g_2 g_1) A$ (нужно точное обоснование, затрудняюсь.)
$g_1 A \cdot g_2 A = g_2 A \cdot g_1 A $
$g_1 A \in Z(G/A) $
Пришли к противоречию, т.к. $G/A$ - группа без центра.

 
 
 
 Re: Если фактор-группа - группа без центра. Проверьте.
Сообщение30.05.2010, 16:42 
Аватара пользователя
Групп без центра не бывает. Бывают группы с тривиальным центром. Соответственно этому и рассуждение надо подправить.

Точное обоснование нужно не в том месте, что Вы отметили, а строчкой ниже. Ключевое слово "нормальность".

 
 
 
 Re: Если фактор-группа - группа без центра. Проверьте.
Сообщение30.05.2010, 21:47 
Ну так.. свойство смежных классов по нормальной подгруппе вроде..

 
 
 
 Re: Если фактор-группа - группа без центра. Проверьте.
Сообщение31.05.2010, 10:05 
Аватара пользователя
Именно так. Только вот почему подгруппа нормальная?

И еще осталось исправить безцентровость на нетривиальность центра.

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group