Геометрия пространства неевклидова?

[В. Войтик]

Начну пожалуй с самого начала.
Для описания процессов измерения, как известно необходимо задание системы отсчёта.
Системы отсчёта в теории относительности возможно определить несколькими способами.
Стандартное ковариантное определение системы отсчёта означает совокупность тел и произвольно идущих часов заполняющих всё пространство наподобие некоторой «среды» [ЛЛ, Т. 2]. В каждой точке этой среды находится наблюдатель или прибор. Это множество приборов позволяет некоторым образом определить относительно них положение события $q_{\alpha}$ и время $q_0$ , когда оно произошло. При этом совокупность всех возможных $q_{\alpha}$, $q_0$ определённым образом сопоставляется с прямоугольной системой координат - времени $T, R_{\alpha}$ лабораторной инерциальной системы отсчёта
$T=T(q_0,q_{\alpha})$ , (1)
$R_{\alpha}= R_{\alpha}(q_0,q_{\alpha})$ (2)
таким образом, что при этой замене интервал между точками в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве остаётся постоянным.
$ds^2=dT^2-dR_{\alpha}^2=g_{i,k}dq_{i}dq_{k}$
Преобразование (1),(2) разумеется голономное.
Четыре функции $T, R_{\alpha}$ полностью задают относительное движение и метрику, если известно это же движение в лабораторной системе , то есть задают систему отсчёта. Переход в некоторую систему отсчёта в таком понимании является просто выбором новой криволинейной системы 4 – координат, причём метрика такой системы должна быть неискривлённой
$R_{iklm}(g_{ik})=0$ .
Это есть условие плоского пространства – времени Минковского. В таком ковариантном понимании системы отсчёта все системы координат и времени являются совершенно равноправными. Этот метод задания системы отсчёта принято называть монадным методом, а я с вашего позволения буду называть системой отсчёта по Лагранжу.
Кроме лагранжевского способа задания описания движения, существует и другой способ, который в его применении к теории относительности почему-то недооценивается .
Он получил название концепции одиночного наблюдателя, а я буду называть такой способ эйлеровской системой отсчёта. В этом понимании системы отсчёта она жёстко связана с положением и состоянием движения одного единственного наблюдателя, который не обязательно является инерциальным. Итак под произвольной системой отсчёта в эйлеровском смысле мы понимаем идеально твёрдое точечное тело отсчета, с которым жёстко связана некоторая триада ортонормированных единичных векторов и на котором находится наблюдатель. При этом подразумевается, что эта триада не вращается относительно наблюдателя.
Что такое система отсчёта сейчас более-менее понятно и в такой системе отсчёта можно ввести некоторую привилегированную систему измерения координат и времени. Да, в эйлеровском понимании системы отсчёта некоторая система координат и времени будет выделяться среди других.
Но сначала я хочу спросить все ли согласны с тем, что все физические результаты полученные с помощью определений системы отсчёта по Лагранжу и по Эйлеру должны быть одинаковы?
Особенно я хотел бы услышать Пью Чай Ли (Ли), epros и Влада. Точка зрения других тоже интересна.

[myhand]

В. Войтик в сообщении #325439 писал(а):

Переход в некоторую систему отсчёта в таком понимании является просто выбором новой криволинейной системы 4 – координат, причём метрика такой системы должна быть неискривлённой
$R_{iklm}(g_{ik})=0$ .
Это есть условие плоского пространства – времени Минковского.

Пардон - тензор Римана есть тензор. Как он от замены координат может искривиться-то? Если Вы подсчитали в одной системе координат тензор Римана - в любой другой он будет совершенно определенным и вычислить его банально можно зная закон преобразования тензора соответствующего ранга. В частности, если все компоненты нуль - так будет и в любых других координатах.

В. Войтик в сообщении #325439 писал(а):

Этот метод задания системы отсчёта принято называть монадным методом, а я с вашего позволения буду называть системой отсчёта по Лагранжу.

Не особенно стандартная терминология - не хозяин-барин...

В. Войтик в сообщении #325439 писал(а):

Он получил название концепции одиночного наблюдателя, а я буду называть такой способ эйлеровской системой отсчёта. В этом понимании системы отсчёта она жёстко связана с положением и состоянием движения одного единственного наблюдателя, который не обязательно является инерциальным. Итак под произвольной системой отсчёта в эйлеровском смысле мы понимаем идеально твёрдое точечное тело отсчета, с которым жёстко связана некоторая триада ортонормированных единичных векторов и на котором находится наблюдатель. При этом подразумевается, что эта триада не вращается относительно наблюдателя.

А чуть подробнее можно? Как определить координаты произвольного события в пространстве-времени в эдакой "системе отсчета"?

[kkdil]

myhand в сообщении #325472 писал(а):

Пардон - тензор Римана есть тензор. Как он от замены координат может искривиться-то?

А от замены линейки на "нелинейку"?

[myhand]

kkdil в сообщении #325563 писал(а):

myhand в сообщении #325472 писал(а):

Пардон - тензор Римана есть тензор. Как он от замены координат может искривиться-то?

А от замены линейки на "нелинейку"?

Какую линейку на какую нелинейку Вы меняете? Можно без сленга?

Мне кажется я достаточно ясно высказался. Тензор Римана вполне конкретная инвариантная (т.е. от выбора координат независящая) характеристика геометрии пространства. Можно в любых координатах посчитать (и преобразовать в другие по вполне конкретному закону, линейному кстати) - если нуль в одних - будет нуль и в любых других, сколь угодно "нелинейных" (ежели преобразование координат имеет смысл, т.е. взаимнооднозначное оно, достаточно гладкое и т.п.).

[kkdil]

myhand в сообщении #325583 писал(а):

Какую линейку на какую нелинейку Вы меняете? Можно без сленга?

Можно попробовать :)

myhand в сообщении #325583 писал(а):

Тензор Римана вполне конкретная инвариантная (т.е. от выбора координат независящая) характеристика геометрии пространства.

Хорошо: [url]http://ru.wikipedia.org/wiki/Тензор_Римана[/url]

myhand в сообщении #325583 писал(а):

Можно в любых координатах посчитать ...

Желаю использовать такие координаты, т.е. систему координат, в которых линейки, т.е способ измерения длин, гарантируют неизменность вектора при параллельном переносе. Возможно подобная линейка окажется более сложным устройством, чем лазерный эталон длины. Или такое изделие принципиально невозможно?

[В. Войтик]

В. Войтик в сообщении #325439 писал(а):

Но сначала я хочу спросить все ли согласны с тем, что все физические результаты полученные с помощью определений системы отсчёта по Лагранжу и по Эйлеру должны быть одинаковы?

Так. Народ игнорирует вопрос. Видимо все согласны, поскольку молчат .
Ну и правильно. А действительно с чего бы это вдруг при изменении условного понятия у нас вдруг менялись результаты? Тем более в классической механике сплошных сред результаты что по Лагранжу, что по Эйлеру одинаковы.

[myhand]

kkdil в сообщении #325634 писал(а):

myhand в сообщении #325583 писал(а):

Тензор Римана вполне конкретная инвариантная (т.е. от выбора координат независящая) характеристика геометрии пространства.

Хорошо: [url]http://ru.wikipedia.org/wiki/Тензор_Римана[/url]

Ну, статья в википедии, а дальше что? Что Вы сказать-то хотели, приведя эту ссылку?

Собственно, обозначения в статье, в частности определение тензора кривизны через аффинную связность - лишний раз демонстрируют эту самую независимость от выбранных координат, о которой я писал выше. Определение вполне "бескоординатное". А конкретные выражения компонент тензора преобразуются от одной системы координат к другой по вполне стандартным формулам для тензора соответствующего ранга.

kkdil в сообщении #325634 писал(а):

myhand в сообщении #325583 писал(а):

Можно в любых координатах посчитать ...

Желаю использовать такие координаты, т.е. систему координат, в которых линейки, т.е способ измерения длин, гарантируют неизменность вектора при параллельном переносе. Возможно подобная линейка окажется более сложным устройством, чем лазерный эталон длины. Или такое изделие принципиально невозможно?

Ну, ежели пространство не плоское - совершенно необязательно, что возможно.

В. Войтик в сообщении #325645 писал(а):

В. Войтик в сообщении #325439 писал(а):

Но сначала я хочу спросить все ли согласны с тем, что все физические результаты полученные с помощью определений системы отсчёта по Лагранжу и по Эйлеру должны быть одинаковы?

Так. Народ игнорирует вопрос. Видимо все согласны, поскольку молчат .
Ну и правильно. А действительно с чего бы это вдруг при изменении условного понятия у нас вдруг менялись результаты? Тем более в классической механике сплошных сред результаты что по Лагранжу, что по Эйлеру одинаковы.

Ну, у народа возникли определенные вопросы еще в первом посте - может найдете время ответить.

А что касается зависимости физики от выбора системы координат - это нонсенс. Вы сами все прекрасно поняли.

[В. Войтик]

myhand в сообщении #325472 писал(а):

.
Пардон - тензор Римана есть тензор. Как он от замены координат может искривиться-то? Если Вы подсчитали в одной системе координат тензор Римана - в любой другой он будет совершенно определенным и вычислить его банально можно зная закон преобразования тензора соответствующего ранга. В частности, если все компоненты нуль - так будет и в любых других координатах.

Да, конечно . Собственно Вы спрашиваете зачем я вообще написал это условие? Ну в общем-то по двум причинам. Во-первых существуют люди (как правило это математики) которые не согласны с тем, что тензор Римана должен быть равен нулю. Они считают, что преобразование между системами отсчёта являются неголономными, т.е. между дифференциалами координат. Поэтому не удивительно, что и тензор кривизны у них ненулевой.
Вторая причина состоит в том, что как Вам известно возможна тензорная формулировка СТО в которой метрический тензор достаточно произволен, а условие равенства кривизны нулю ограничивает широту выбора $g_{i,k}$.
В такой формулировке будут избыточны уже условия (1),(2).

Цитата:

В. Войтик в сообщении #325439 писал(а):

Он получил название концепции одиночного наблюдателя, а я буду называть такой способ эйлеровской системой отсчёта. В этом понимании системы отсчёта она жёстко связана с положением и состоянием движения одного единственного наблюдателя, который не обязательно является инерциальным. Итак под произвольной системой отсчёта в эйлеровском смысле мы понимаем идеально твёрдое точечное тело отсчета, с которым жёстко связана некоторая триада ортонормированных единичных векторов и на котором находится наблюдатель. При этом подразумевается, что эта триада не вращается относительно наблюдателя.

А чуть подробнее можно? Как определить координаты произвольного события в пространстве-времени в эдакой "системе отсчета"?

Извольте. Только много букав.
В эйлеровском понимании системы отсчёта определение её системы координат представляет собой трудность, поскольку жёсткий каркас представляет собой идеализацию пригодную только для инерциальных систем отсчёта (Фок). Аналогично этому для произвольных стационарных неинерциальных систем отсчёта, казалось бы, невозможно пользоваться покоящимися стандартными часами, т.к. достаточно сильное ускорение, несомненно, будет оказывать влияние на механизм часов.
Однако в случае стационарной системы отсчёта существует довольно простой способ учёта деформации линеек системы координат из-за неинерциальности движения используя, например закон Гука. Другим способом учёта поправок неинерциальности является выбор всё более добротных линеек так, чтобы ускорение почти не сказывалось на их форме. Аналогично линейкам в стационарной системе отсчёта можно выбрать почти идеальные часы, роль которых на практике могут играть (и обычно это так и есть) например атомы некоторого химического элемента.
Таким образом, для стационарной системы отсчёта в принципе можно выбрать почти идеальные линейки и часы. Только в случае постоянных внутренних характеристик системы отсчёта деформация линеек системы координат будет зависеть исключительно от упругих свойств материала линеек и легко учитывается.
Однако особенно трудно разговаривать о системе координат и системе измерения времени в нестационарной системе отсчёта, т.е. когда внутренние характеристики неинерциальной системы отсчёта меняются (поле ускорений инерции является переменным). Если ускорение и угловая скорость системы переменны, то форма линеек с течением времени изменяется. Согласно современным представлениям в теории относительности для неинерциальных систем отсчёта в принципе невозможна идеально твёрдая система координат. Тогда обычно считается, что совокупности покоящихся неизменным образом взаимно расположенных друг относительно друга тел вообще не может существовать, поскольку максимальная скорость передачи сигналов ограничена скоростью света. Теория относительности казалось бы строго запрещает идеально твёрдое тело в качестве системы координат. Так, если ускоренная система отсчёта внезапно получает дополнительное ускорение, то линейка её системы координат изготовленная из достаточно упругого материала и расположенная вдоль направления ускорения приобретает форму, отвечающую установившемуся ускорению не сразу, а спустя некоторое время, которое не меньше чем необходимо свету чтобы достичь от системы отсчёта до конечного деления линейки. Всё это время линейка будет избыточно деформирована, причём независимо от её материала. Это не означает, однако, что идеальные или почти идеальные приборы невозможны. Однако этот запрет можно обойти и всё-таки ввести некоторую идеальную систему координат. Мы утверждаем, что вывод о невозможности существования идеальной системы координат является заблуждением. Это довольно очевидно из мысленного эксперимента, который был описан выше. Предположим, что не только система отсчёта, но и все малые линейки её системы координат вдруг внезапно получили соответствующее дополнительное ускорение, тогда подбором этого ускорения в зависимости от положения линейки относительно данной неинерциальной системы отсчёта всегда можно будет добиться, чтобы эти линейки не двигались друг относительно друга.
Кроме того, рассматривая систему координат ускоренной системы отчёта заметим, что если бы вообще все (даже эталонные) линейки системы координат расположенные вдоль направления ускорения деформировались одинаковым образом, то их относительная деформация была бы незаметна и сам факт деформации был бы установлен исходя из стереометрических измерений. Поскольку же нестабильность линеек заметна даже для точечного существа, покоящегося относительно системы отсчёта (не говоря уже о человеке), то ясно, что, по крайней мере, в произвольной ускоренной системе отсчёта существует какая-то эталонная 3-система координат, с линейками которой пусть даже визуально и сравниваются линейки системы координат ускоренной системы отсчёта.
Аналогично рассуждению с вовремя приданным линейкам дополнительным ускорением, если вовремя подводить стрелки неисправных стоящих часов в расположенных в некотором месте системы координат неинерциальной системы отсчёта с учётом хода исправных инерциальных часов то такие неинерциальные часы визуально являются примером идеальных часов, т.е. часов, на работу которых принципиально не оказывает влияния их неинерциальность. Вопрос лишь заключается в том, как именно подводить стрелки. Как будет ясно ниже, эти часы будут заменять собой неидеальные неинерциальные часы.
С учётом всего вышесказанного попытаемся несколько уточнить терминологию, т.е. изменим физическое конструктивное определение системы координат и системы измерения времени у неинерциальной системы отсчёта по сравнению с их определением в классической физике как идеально твёрдых тел, так, чтобы наблюдатель в такой системе отсчёта мог пользоваться инерциальными приборами. То, что это возможно и необходимо сделать довольно очевидно. Конечно, это возможно, если полагать под системой координат в неинерциальной системе отсчёта декартову систему координат в мгновенно сопутствующей инерциальной системе отсчёта. Рассмотрим сначала ускоренную систему отсчёта.
Таким образом, прямоугольной системой координат произвольной ускоренной системы отсчёта назовём множество инерциальных (двигающихся свободно без вращения) совокупностей трёх взаимно стандартных ортогональных линеек закреплённых друг относительно друга в точке (0,0,0), в которой находятся система отсчёта и покоящиеся стандартные часы. Такие же стандартные, взаимно синхронизированные часы должны быть расположены и закреплены в каждой достаточно малой области пространства инерциальной системы трёх линеек. Множество систем линеек должно быть таким, чтобы в течение каждого достаточно малого промежутка времени по «нулевым» часам нулевая точка и направления осей одной из систем линеек практически совпадали бы соответственно с системой отсчёта и тремя направлениями связанными с ней, причём относительная скорость нулевой точки и системы отсчёта в течение этого промежутка практически равнялась бы нулю. Такая система координат и времени как известно называется мгновенно сопутствующей. Угловая скорость вращения осей системы отсчёта относительно мгновенно сопутствующей прямоугольной системы линеек, вообще говоря, не равна нулю, тогда единственными внутренними характеристиками неинерциальной системы отсчёта являются векторы ускорения и угловой скорости системы отсчёта. Тот достаточно малый промежуток времени, в течение которого осуществляется одновременное совпадение неинерциальной системы отсчёта и нулевой точки, а также единичных векторов системы отсчёта и осей линеек мгновенно сопутствующих систем координат отсчитывается по часам нулевых точек и мгновенно отмечается (подводится) стрелками «стоящих» неинерциальных часов. Таким образом, конечная установка стрелок этих часов в пределе представляет собой интеграл от дифференциалов собственного времени множества «нулевых» инерциальных часов и покажет полное время, прошедшее в ускоренной системе отсчёта. Такое же мировое время будет отмечаться на удалённых от системы отсчёта часах. Таким образом, время системы отсчёта будет являться общим, мировым временем для любой точки пространства ускоренной системы отсчёта. Физическое время в этой точке разумеется будет отличаться от мирового.
Определённая таким образом прямоугольная система координат $r_{\alpha}$ и времени $t$ будет эталонной в том смысле, что на неё не будет влиять ускорение.
Пусть теперь система отсчёта не только ускорена, но ещё и имеет жёсткое собственное вращение с функцией направляющих угловых косинусов $a_{\alpha \beta}$ Тогда такой системе отсчёта мы сопоставим систему координат $r'$ и то же самое мировое время $t'$
$r_{\alpha}=a_{\alpha \beta}r'_{\beta}$
$t=t'$
Необходимо подчеркнуть, что система координат 3-пространства неинерциальной системы отсчёта не является реальным жёстким каркасом, а моделируется множеством инерциальных систем координат имеющих нулевую скорость относительно системы отсчёта, ориентация которых совпадает с ориентацией системы отсчёта и которые неинерциальный наблюдатель для каждого момента измерения видит в свободном вращении относительно себя. Практически в качестве неинерциальной системы координат, конечно, используют линейки всегда покоящиеся относительно системы отсчёта. При этом не следует забывать, что их показания необходимо всё время уточнять линейками системы координат мгновенно сопутствующей данной неинерциальной системе отсчёта инерциальной системы отсчёта. В случае стационарной системы отсчёта один раз установленное соответствие между ускоренными линейками неинерциальной системы отсчёта и линейками мгновенно сопутствующей инерциальной системы отсчёта изменяться с течением времени не будет.
Таким образом, я утверждаю, что
если ввести такое конструктивное определение системы координат в неинерциальной системе отсчёта, то понятие системы координат и системы измерения времени будет таким же, как и для инерциальных систем отсчёта, а расстояние между точками пространства всегда имеет смысл даже для произвольной, нестационарной системы отсчёта. Некоторая система 4-координат для данной системы отсчёта в эйлеровском понимании (в отличие от лагранжевского) является особо выделенной. Такой системой координат является некоторая система координат (например декартова как особенно простая) мгновенно сопутствующей инерциальной системы отсчёта и физическое время системы отсчёта рассматриваемое в качестве мирового.

Теперь мне интересны Ваши комментарии а потом поговорим дальше.

[myhand]

В. Войтик в сообщении #325664 писал(а):

myhand в сообщении #325472 писал(а):

.
Пардон - тензор Римана есть тензор. Как он от замены координат может искривиться-то? Если Вы подсчитали в одной системе координат тензор Римана - в любой другой он будет совершенно определенным и вычислить его банально можно зная закон преобразования тензора соответствующего ранга. В частности, если все компоненты нуль - так будет и в любых других координатах.

Да, конечно . Собственно Вы спрашиваете зачем я вообще написал это условие? Ну в общем-то по двум причинам. Во-первых существуют люди (как правило это математики) которые не согласны с тем, что тензор Римана должен быть равен нулю. Они считают, что преобразование между системами отсчёта являются неголономными, т.е. между дифференциалами координат. Поэтому не удивительно, что и тензор кривизны у них ненулевой.

Немного уточните. Неравенство нулю означает то, что геометрия нетривиальная. Ну, неплоское пространство. Но вот как после преобразований координат тензор вдруг может стать ненулевым. Ну разве что это не тензор

В. Войтик в сообщении #325664 писал(а):

Вторая причина состоит в том, что как Вам известно возможна тензорная формулировка СТО в которой метрический тензор достаточно произволен, а условие равенства кривизны нулю ограничивает широту выбора $g_{i,k}$.
В такой формулировке будут избыточны уже условия (1),(2).

Вы выбираете не $g_{i,k}$ - а новые координаты. Закон преобразования метрики вполне однозначно связан с тем, как новые координаты выражаются через старые (ибо метрика тоже тензор).

Ваше требование "Переход в некоторую систему отсчёта в таком понимании является просто выбором новой криволинейной системы 4 – координат, причём метрика такой системы должна быть неискривлённой" выполняется автоматически. Вы же не меняете геометрию пространства просто поменяв координаты! Геометрия пространства характеризуется совершенно другими вещами, такими как тензор Римана. Ну, если точнее, он характеризует достаточно локальные свойства пространства - речь ведь идет о дифференциальной геометрии (плоское пространство может еще обладать нетривиальной топологией).

СТО это просто частный случай ОТО, когда геометрия пространства фиксированая и это плоское пространство Минковского, тензор Римана равен нулю.

По остальной части постараюсь ответить позднее, пробившись через данный поток сознания. Но вот сразу:

В. Войтик в сообщении #325439 писал(а):

Таким образом, прямоугольной системой координат произвольной ускоренной системы отсчёта назовём множество инерциальных (двигающихся свободно без вращения) совокупностей трёх взаимно стандартных ортогональных линеек закреплённых друг относительно друга в точке (0,0,0), в которой находятся система отсчёта и покоящиеся стандартные часы. Такие же стандартные, взаимно синхронизированные часы должны быть расположены и закреплены в каждой достаточно малой области пространства инерциальной системы трёх линеек.

Почему Вы уверены, что такая взаимная синхронизация возможна? В ОТО вроде-бы таковой не наблюдается.

[В. Войтик]

myhand в сообщении #325690 писал(а):

.
Немного уточните. Неравенство нулю означает то, что геометрия нетривиальная. Ну, неплоское пространство. Но вот как после преобразований координат тензор вдруг может стать ненулевым. Ну разве что это не тензор

В том то и дело, что у них нет преобразований координат, а есть преобразование дифференциалов координат. Естественно, что тензор кривизны у них может иметь любое значение, даже если в инерциальной системе отсчёта он нулевой.

Цитата:

Вы выбираете не $g_{ik}$ - а новые координаты. Закон преобразования метрики вполне однозначно связан с тем, как новые координаты выражаются через старые (ибо метрика тоже тензор).

Ваше требование "Переход в некоторую систему отсчёта в таком понимании является просто выбором новой криволинейной системы 4 – координат, причём метрика такой системы должна быть неискривлённой" выполняется автоматически. Вы же не меняете геометрию пространства просто поменяв координаты! Геометрия пространства характеризуется совершенно другими вещами, такими как тензор Римана. Ну, если точнее, он характеризует достаточно локальные свойства пространства - речь ведь идет о дифференциальной геометрии (плоское пространство может еще обладать нетривиальной топологией).
СТО это просто частный случай ОТО, когда геометрия пространства фиксированая и это плоское пространство Минковского, тензор Римана равен нулю.

Всё это понятно. Напомню в тензорной формулировке СТО (в отличие от обычной) исходным материалом являются заданные функции $g_{ik}$, которые довольно произвольны, а предположение (1),(2) не делается (Фок, Теория пространства, времени, тяготения, с. 165,166). Если не ограничить произвол выбора $g_{ik}$ условием равенства тензора кривизны нулю, то это уже означает не СТО, а ОТО, которую я не рассматриваю. Если же выбрать
(3) $R_{iklm}=0$
, то это автоматически означает правильность (1), (2). Другими словами уравнения (1), (2) и уравнение (3) равносильны.

Цитата:

По остальной части постараюсь ответить позднее. Но вот сразу:

В. Войтик в сообщении #325439 писал(а):

Таким образом, прямоугольной системой координат произвольной ускоренной системы отсчёта назовём множество инерциальных (двигающихся свободно без вращения) совокупностей трёх взаимно стандартных ортогональных линеек закреплённых друг относительно друга в точке (0,0,0), в которой находятся система отсчёта и покоящиеся стандартные часы. Такие же стандартные, взаимно синхронизированные часы должны быть расположены и закреплены в каждой достаточно малой области пространства инерциальной системы трёх линеек.

Почему Вы уверены, что такая взаимная синхронизация возможна? В ОТО вроде-бы таковой не наблюдается.

Ну мы же договорились ОТО не рассматривать
А в любой мгновенно сопутствующей инерциальной системе отсчёта всегда можно синхронизировать часы.

[Алия87]

В евклидовом пространстве вращается диск. С помощью полярных координат можно перейти от СК ИСО к СК вращающейся СО. Во вращающейся СО пространственная геометрия неевклидова.

[В. Войтик]

Алия. Немножко подождите, дойдём и до диска.

[myhand]

Алия87 в сообщении #325704 писал(а):

В евклидовом пространстве вращается диск. С помощью полярных координат можно перейти от СК ИСО к СК вращающейся СО. Во вращающейся СО пространственная геометрия неевклидова.

Ключевое слово здесь пространственная. А вот геометрия пространства-времени, конечно, - никак не изменилась. СТО не запрещает произвольные (неинерциальные, криволинейные etc) системы координат.

В. Войтик в сообщении #325703 писал(а):

Если не ограничить произвол выбора $g_{ik}$ условием равенства тензора кривизны нулю, то это уже означает не СТО, а ОТО, которую я не рассматриваю.
Если же выбрать
(3) $R_{iklm}=0$
, то это автоматически означает правильность (1), (2). Другими словами уравнения (1), (2) и уравнение (3) равносильны.

Пожалуй что так. Просто у Вас выглядело, будто условие (3) является дополнительным каким требованием. Что, конечно, неправильно - ведь криволинейные системы координат вы вводите через прямоугольные координаты с известной метрикой. В которых, как несложно сосчитать, тензор кривизны равен нулю. Следовательно - автоматически равен нулю в любой криволинейной системе к-т данного пространства.

В. Войтик в сообщении #325703 писал(а):

Ну мы же договорились ОТО не рассматривать

Ок, прояснили этот момент.

[Алия87]

В. Войтик в сообщении #325705 писал(а):

Алия. Немножко подождите, дойдём и до диска.

Немножко извиняюсь.

myhand в сообщении #325711 писал(а):

Ключевое слово здесь пространственная. А вот геометрия пространства-времени, конечно, - никак не изменилась. СТО не запрещает произвольные (неинерциальные, криволинейные etc) системы координат.

Спасибо.

[Черный Евгений]

Если речь идет о физическом пространстве, а не о пространстве теории относительности, то нам прежде всего следует думать о проблемах пространства, а не о проблемах авторов оригинальных физических теорий.
1) Все сходятся на том, что физическое пространство трех мерно.
2) Но никто определенно не знает оно дискретно или непрерывно.
3) Есть утверждение Римана, которое Гаусс пропустил мимо ушей, но которое не утратило от этого своей силы - "Внутри непрерывного пространства невозможно найти внутреннюю меру протяженности (или по мудреному метрику), ее нужно привнести откуда то извне". Кто привносит эту меру в непрерывное физическое пространство? Авторы оригинальных физических теорий. Остается только открытым вопрос, как природа обходилась в измерениях до этого.
4) Когда задумываешься над серьезными проблемами пространства, тогда вопрос о кривизне отодвигается на 25-е место.