С4

[ewert]

Вот такая задачка из небезызвестной книжки "Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ, 2010, Математика" Высоцкого, Гущина и Ко (которая на 92 странички):

"Медиана $BM$ треугольника $ABC$ равна его высоте $AH$. Найдите угол $MBC$." (Шестой вариант.)

Так вот, решение достаточно тривиально (в отличие от окружающих С4; что, между прочим, не есть хорошо). Надо просто секундочку поиграться площадями, после чего мгновенно синус равен одной второй, а угол -- соответственно 30 или 150 градусам. Соответственно, ровно те два ответа в той брошюрке и приведены -- а напрасно, между прочим.

Ибо немедленно возникают два встречных предложения.

1) Доказать, что второй вариант фактически не реализуем.

2) Сообщить, что делать ребенку, оказавшемуся в подобной ситуации.

А ребенок, между прочим, непременно попадет в ту ситуацию (если он хоть мало-мальски добросовестен). Поскольку он знает, что это часть С и, следовательно, обязан свои выводы обосновывать. Т.е. не только вычислить возможные значения угла, но и представить примеры, когда те углы достигаются. Ну или опровергнуть.

Ну, с 30-ю градусами -- все, конечно, понятно. А вот со 150-ю -- проблема. Первая же попытка нарисовать картинку наводит на смутные, но глубокие подозрения. Чего-то тут явно не так. Но формально доказать, чего именно -- вовсе не очевидно.

Ну и куды бедному хрестьянину податьси?... Да еще и за ограниченное время?...

------------------------------------------
в порядке пикантности: у них там в этом же варианте еще и ответ на С5 неверен. Какой-то феноменальный вариант.

[RIP]

Хм, заинтриговали. Никак не вижу проблемы со $150^\circ$. По-моему, вполне реализуется.

[lel0lel]

Я решал немножко по-другому, сначала опустил высоту из точки $M$ на $AH$, а потом, используя подобия треугольников, уже нашёл соответствующий синус. Но треугольник $OBH$ ($O$ точка пересечения медианы и исходной высоты) прямоугольный, поэтому второй вариант не подходит.

[ewert]

RIP в сообщении #325286 писал(а):

Хм, заинтриговали. Никак не вижу проблемы со $150^\circ$. По-моему, вполне реализуется.

А где реализуется-то?... Вроде как при угле 150 градусов медиана выйдет заведомо больше высоты, как ни считай...

[EtCetera]

lel0lel

lel0lel в сообщении #325287 писал(а):

Но треугольник $OBH$ ($O$ точка пересечения медианы и исходной высоты) прямоугольный, поэтому второй вариант не подходит.

Во втором случае ($\angle MBC=150^\circ$) точка $O$ совпадает с точкой $A$.

Собственно, соответствующую картинку нарисовать довольно легко (при наличии остро заточенного карандаша, циркуля и линейки). Берем произвольный отрезок $AC$ с серединой в $M$. Проводим окружность $(M, AM)$, затем прямую $CH$ ($H$ - точка пересечения окружности и прямой) таким образом, чтобы $\angle ACH$ был меньше $30^{\circ}$. Наконец, проводим окружность $(M, CH)$ и убеждаемся, что две точки пересечения оной с $CH$ дают 2 искомых решения.
Правда, на ЕГЭ можно пользоваться только ручкой, а $\angle ACB$ довольно маленький... С другой стороны, короткое решение оставляет достаточно места под большой рисунок.
Но меня искренне смущает, каким образом устная задача попала в C4.

[ewert]

я чего-то ничего не понимаю. Да, 150 возможно, когда один из углов треугольника равен в точности нулю градусов. И только в этом случае. Но это уже никакой не треугольник.

[Ales]

Быстрое решение: приставить симметричный треугольник и получить параллелограм, медиана будет половиной диагонали.
Тогда высота - это половина гипотенузы прямоугольного треугольника (диагонали параллелограмма).
Значит искомый угол 30 градусов.

[EtCetera]

ewert

ewert в сообщении #325313 писал(а):

Да, 150 возможно, когда один из углов треугольника равен в точности нулю градусов. И только в этом случае.

Существует бесчисленное множество треугольников, удовлетворяющих условиям задачи (для каждого $0^{\circ}<\angle ACB<30^{\circ}$ обязательно найдется пара: один с $\angle MBC=30^{\circ}$ и другой с $\angle MBC=150^{\circ}$).
Картинка прилагается.


Upd: Забыл добавить, что помимо указанной пары существует 3-ий, самый очевидный, вариант, при котором $\angle ABC$ - острый (для двух вышеуказанных он тупой), а $\angle MBC=30^{\circ}$. Впрочем, это и так понятно...

[Ales]

EtCetera в сообщении #325325 писал(а):

Существует бесчисленное множество треугольников, удовлетворяющих условиям задачи (для каждого обязательно найдется пара: один с и другой с ).

Ну да, 150 градусов тоже может быть.

[ewert]

Да, действительно возможно (хотя зачем там круги -- так и не понял). Я просто перепутал там буквы. Вопрос снимается.

Ладно. Предлагаю все ж таки решить С5 того же варианта:

$f(x)=4|x-a|+|x^2+2x-3|$;

а найти надо те $a$, при которых наименьшее значение этой функции меньше четырех.

[Legioner93]

У меня получилось $-4<a<2$, $a \ne -1$

[paha]

ewert в сообщении #325522 писал(а):

Ладно. Предлагаю все ж таки решить С5 того же варианта

Там ответ неправильный, или какая другая трудность?

[ewert]

Ответ (там почему-то (-4;-2) или (0;2); интересно, как они это получили). Но не только: не очень понятно, какую логику решения они имели в виду. Не раскрывать же модули; а иначе -- некоторые трудности с формальным обоснованием (из-за криволинейности).

Legioner93 в сообщении #325529 писал(а):

У меня получилось $-4<a<2$, $a \ne -1$

Это правда. Поэтому экзамен, боюсь, Вам не сдать.

[Legioner93]

А мой ответ верный?:)

[paha]

ewert в сообщении #325547 писал(а):

не очень понятно, какую логику решения они имели в виду

мне кажется тут нечего делать кроме как показывать в какой точке достигается минимум...$x^2$ после $x=2$ растет быстрей, чем $4x$